Abitur 2006 Mathematik GK Analytische Geometrie VI

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte

A (3 | - 2 | 3)

B (3 | 2 | 3)

C (6 | 2 | 7)

und

D (6 | - 2 | 7)

sowie die Gerade

g : \vec{x} = (\begin{matrix} 5 \\ 2 \\ 9 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 3 \end{matrix}), λ \in ℝ

, gegeben.

Teilaufgabe 1a (6 BE)

Bestimmen Sie eine Normalenform der Ebene H, die durch die Punkte A, B und C festgelegt wird. Beschreiben Sie die Lage von H im Koordinatensystem. [mögliches Ergebnis:

H : 4 x_{1} - 3 x_{3} - 3 = 0

]

Teilaufgabe 1b (5 BE)

Zeigen Sie, dass das Viereck ABCD ein ebenes Rechteck mit Flächeninhalt 20 ist.

Teilaufgabe 1c (6 BE)

Berechnen Sie den Schnittpunkt E der Geraden g mit der Ebene H. Zeigen Sie, dass E auf der Halbgeraden

[A B

, aber nicht auf der Strecke

[A B]

liegt.
[Ergebnis:

E (3 | 6 | 3)

]

Teilaufgabe 1d (3 BE)

Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes

F \in [B A

so, dass das Viereck ECDF ein achsensymmetrisches Trapez ist.

Teilaufgabe 1e (6 BE)

Bestimmen Sie die Innenwinkel dieses Trapezes und zeigen Sie, dass es den Flächeninhalt 40 hat.

Der Schnittpunkt S der Geraden g mit der

x_{1} x_{3}

-Ebene ist die Spitze einer Pyramide mit dem Trapez ECDF als Grundfläche.

Teilaufgabe 2a (6 BE)

Bestimmen Sie das Volumen dieser Pyramide.
[Teilergebnis:

S (6 | 0 | 12)

]

Teilaufgabe 2b (4 BE)

Zeichnen Sie die Pyramide in ein Koordinatensystem (vgl. Skizze) ein.

Teilaufgabe 2c (4 BE)

Begründen Sie, dass die Pyramide bei Spiegelung an einer geeigneten Ebene in sich abgebildet wird, und geben Sie eine Gleichung dieser Symmetrieebene in Normalenform an.

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 1c

Teilaufgabe 1d

Teilaufgabe 1e

Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 2c

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