Lösung Abitur Bayern 2006 Mathematik GK Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1b (5 BE)

Zeigen Sie, dass das Viereck ABCD ein ebenes Rechteck mit Flächeninhalt 20 ist.

Lösung zu Teilaufgabe 1b

Flächeninhalt eines Rechtecks

Schritt einblenden / ausblenden

\vec{A B} = \vec{O B} - \vec{O A} = (\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 3 \\ - 2 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{matrix})

\vec{D C} = \vec{O C} - \vec{O D} = (\begin{matrix} 6 \\ 2 \\ 7 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 6 \\ - 2 \\ 7 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{matrix})

\vec{A D} = \vec{O D} - \vec{O A} = (\begin{matrix} 6 \\ - 2 \\ 7 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 3 \\ - 2 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{matrix})

\vec{B C} = \vec{O C} - \vec{O B} = (\begin{matrix} 6 \\ 2 \\ 7 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{matrix})

\Rightarrow \vec{A B} = \vec{D C}

und

\vec{A D} = \vec{B C}

Schritt einblenden / ausblenden

Skalarprodukt

rechter Winkel

Das Skalarprodukt zweier Vektoren

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

und

\vec{b} = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix})

ergibt sich aus der Summe der Produkte der Komponenten der Vektoren.

\vec{a} \cdot \vec{b} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}

Aus der allgemeinen Definition des Skalarproduktes

\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot \cos ∡ (\vec{a}, \vec{b})

folgt:
Wenn zwei Vektoren senkrecht zu einander stehen, dann ist das Skalarprodukt gleich Null (

\cos (90) = 0

)

\vec{A B} \cdot \vec{A D} = (\begin{matrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{matrix}) = 0 \Rightarrow \vec{A B} ⊥ \vec{A D}

Ist

D \in H

?
D in H einsetzen:

3 = (\begin{matrix} 6 \\ - 2 \\ 7 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 0 \\ - 3 \end{matrix}) = 3 \Rightarrow D \in H

\vec{A B}

und

\vec{A D}

bilden einen rechten Winkel und

D \in H

, also ist das Viereck ABCD ein (ebenes) Rechteck.

Der Flächeninhalt Q des Rechtecks ist:

Q = \bar{A B} \cdot \bar{A D} =

Schritt einblenden / ausblenden

Betrag eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \Rightarrow | \vec{a} | = \bar{a} = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}} = \sqrt{{\begin{matrix} a_{1} \end{matrix}}^{2} + {\begin{matrix} a_{2} \end{matrix}}^{2} + {\begin{matrix} a_{3} \end{matrix}}^{2}}

= \sqrt{{(\begin{matrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{matrix})}^{2}} + \sqrt{{(\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{matrix})}^{2}} = 4 \cdot 5 = 20

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Flächeninhalt eines Rechtecks

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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