Lösung Abitur Bayern 2005 Mathematik LK Stochastik III

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 3b (8 BE)

Eine Lieferung von 500 CDs von Großhändler

B

wird untersucht.
Bestimmen Sie den kleinstmöglichen Bereich symmetrisch zum Erwartungswert, in dem die Zahl der Raubkopien mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens

80 %

liegt (Näherung mit der Normalverteilung).

Lösung zu Teilaufgabe 3b

Erwartungswert einer Zufallsgröße

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n = 500

p = P (

CD von Händler B ist eine Raubkopie

) = 0, 15

q = 1 - p = 0, 85

\Rightarrow μ = n \cdot p = 500 \cdot 0, 15 = 75

\Rightarrow σ = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{500 \cdot 0, 15 \cdot 0, 85} = 7, 98

Der gesuchte Bereich soll symmetrisch zum Erwartungswert

μ

sein:

Die Anzahl der Raubkopien soll mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens

80 %

in diesem Bereich liegen:

\Rightarrow P (| X - μ | \leq a) \geq 0, 8

Näherung durch Normalverteilung:

Schritt einblenden / ausblenden

Normalverteilung

Normalverteilung als Näherung der Binomialverteilung:

P (x_{1} \leq X \leq x_{2}) = Φ (\frac{x_{2} + 0, 5 - μ}{σ}) - Φ (\frac{x_{1} - 0, 5 - μ}{σ})

Liegt ein symmetrischer Streubereich

[x_{1}; x_{2}] = [μ - a; μ + a]

vor, dann gilt:

\begin{matrix} P (x_{1} \leq X \leq x_{2}) & = & P (| X - μ | \leq a) \\ = & P (μ - a \leq X \leq μ + a) \\ = & Φ (\frac{μ + a + 0, 5 - μ}{σ}) - Φ (\frac{μ - a - 0, 5 - μ}{σ}) \\ = & Φ (\frac{a + 0, 5}{σ}) - \underset{= 1 - Φ (\frac{a + 0, 5}{σ})}{\underset{︸}{Φ (- (\frac{a + 0, 5}{σ}))}} \\ = & 2 \cdot Φ (\frac{a + 0, 5}{σ}) - 1 \end{matrix}

P (| X - μ | \leq a) = 2 \cdot Φ (\frac{a + 0, 5}{σ}) - 1

\Rightarrow 2 \cdot Φ (\frac{a + 0, 5}{7, 98}) - 1 \geq 0, 8

Den Quantilen des stochastischen Tafelwerkes entnimmt man:

\Rightarrow Φ (\frac{a + 0, 5}{7, 98}) \geq \frac{0, 8 + 1}{2} = 0, 9 = Φ (1, 281)

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Φ (X)

ist stetig und streng monoton wachsend:

Φ (a) \geq Φ (b) \Rightarrow a \geq b

\Rightarrow \frac{a + 0, 5}{7, 98} \geq 1, 281

\Rightarrow a \geq 1, 281 \cdot 7, 98 - 0, 5 = 9, 7

\Rightarrow a \geq 10

\Rightarrow

gesuchtes kleinstmögliches Intervall:

X \in [65; 85]

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Themen dieser Aufgabe:

Erwartungswert einer Zufallsgröße

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