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Lösung Abitur Bayern 2005 Mathematik LK Stochastik III

zur Angabe dieser Abituraufgabe
Teilaufgabe 2a  (5 BE)
Von allen in einem Musikladen verkauften CDs entfallen 25 % auf klassische Musik und 30 % auf Volksmusik. Der Rest wird der Popmusik zugeordnet.
60 % der Käufer einer Klassik-CD und 25 % der Käufer einer Popmusik-CD sind älter als 30 Jahre. Insgesamt werden 48 % der verkauften CDs von Kunden erworben, die älter als 30 Jahre sind.
Ein Kunde betritt den Musikladen und kauft eine Volksmusik-CD. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist er höchstens 30 Jahre alt?
 
Lösung zu Teilaufgabe 2a
Bedingte Wahrscheinlichkeit



Daten aus dem Text lesen:

25 % klassische Musik ( K ) ⇒ P ( K ) = 0 , 25

30 % Volksmusik ( V ) ⇒ P ( V ) = 0 , 3

Rest Popmusik ( P ) ⇒ P ( P ) = 1 - P ( K ) - P ( V ) = 0 , 45

Betrachten des Ereignis A : "Käufer ist älter als 30 Jahre" :

60 % der Käufer von K sind älter als 30 Jahre:

⇒ P ( K A ) = 0 , 6 P ( K A ¯ ) = 1 - P ( K A ) = 0 , 4


25 % der Käufer von P sind älter als 30 Jahre:

⇒ P ( P A ) = 0 , 25 P ( P A ¯ ) = 1 - P ( P A ) = 0 , 75


Keine Angaben über die Käufer von V :

⇒ P ( V A ) = x P ( V A ¯ ) = 1 - P ( V A ) = 1 - x


48 % aller verkauften CDs werden von Kunden gekauft die älter sind als 30 Jahre:

⇒ P ( A ) = 0 , 48
Bestimmen der unbekannten Variable x :

0 , 48 = P ( A ) = P ( K ∩ A ) + P ( V ∩ A ) + P ( P ∩ A ) = 0 , 15 + 0 , 3 x + 0 , 1125

⇒ 0 , 48 = 0 , 15 + 0 , 3 x + 0 , 1125

⇒ 0 , 3 x = 0 , 2175

⇒ x = 0 , 725 ; 1 - x = 0 , 275

Nun kann das Baumdiagramm vervollständigt werden:
Die gesuchte bedingte Wahrscheinlichkeit, dass ein Käufer einer Volksmusik-CD (Bedingung) höchsten 30 Jahre alt ist (höchstens bedeutet also nicht älter als 30 Jahre!), ist gegeben durch:

P V ( A ¯ ) = P ( V ∩ A ¯ ) P ( V ) = 0 , 3 ⋅ 0 , 275 0 , 3 = 0 , 275

⇒ Ein Kunde der eine Volksmusik-CD kauft ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 27 , 5 % höchstens 30 Jahre alt.
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Lösungen zu:
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Themen dieser Aufgabe:
Bedingte Wahrscheinlichkeit
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