Lösung Abitur Bayern 2005 Mathematik LK Stochastik III

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 3a (5 BE)

Der Musikladen bezieht seine Ware zu gleichen Teilen von den Großhändlern

A

und

B

A

liefert ausnahmslos Originalware. In jeder Lieferung des Großhändlers

B

befinden sich

15 %

willkürlich eingestreute Raubkopien, die nur dadurch erkannt werden können, dass diesen CDs der Kopierschutz fehlt.

Wie viele zufällig aus dem Musikladen ausgewählte CDs muss man mindestens überprüfen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als

90 %

mindestens eine Raubkopie zu entdecken? Rechnen Sie wie bei "Ziehen mit Zurücklegen".

Lösung zu Teilaufgabe 3a

Binomialverteilung

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Daten aus dem Text lesen:

A

: "Ware von Händler A"

B

: "Ware von Händler B"

R

: "CD ist eine Raubkopie"

Musikladen bezieht Ware zu gleichen Teilen von A und B

\Rightarrow P (A) = P (B) = 0, 5

A liefert ausnahmslos Originalware

\Rightarrow P (A \bar{R}) = 1

15 %

Raubkopien willkürlich in Lieferung B

\Rightarrow

\begin{matrix} P (B R) & = & 0, 15 \\ P (B \bar{R}) = 1 - P (B R) & = & 0, 85 \end{matrix}

Aus obigen Daten erstellt man folgendes Baumdiagramm:

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Der Hinweis in der Angabe (Rechnen wie bei Ziehen mit Zurücklegen) bezieht sich auf die Wahrscheinlichkeit des Treffers "gewählte CD ist eine Raubkopie".

Also ist:

p

(Treffer)

= P (B \cap R) = P (B) \cdot P (B R) = 0, 5 \cdot 0, 15 = 0, 075

p = P (R) = 0, 075

q = 1 - p = 0, 925

mindestens eine Raubkopie

\Rightarrow z \geq 1

mehr als

90 % \Rightarrow P_{S} = 0, 9

Es gilt:

1 - q^{n} > P_{S} \Leftrightarrow 1 - 0, 925^{n} > 0, 9

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

P_{p}^{n} (z \geq 1) = 1 - P_{p}^{n} (z = 0) = 1 - \underset{= 1}{\underset{︸}{(\binom{n}{0})}} \cdot \underset{= 1}{\underset{︸}{p^{0}}} \cdot \underset{= q^{n}}{\underset{︸}{(1 - p)^{n - 0}}} = 1 - q^{n}

1 - q^{n} > P_{S} \Rightarrow q^{n} < 1 - P_{S} |

Logarithmieren

\Rightarrow \ln q^{n} < \ln (1 - P_{S})

\Rightarrow n \cdot \ln q < \ln (1 - P_{S}) | : \ln q < 0

\Rightarrow n > \frac{\ln (1 - P_{S})}{\ln q}

Relationszeichen ändert sich!

\Rightarrow n > \frac{\ln (1 - 0, 9)}{\ln 0, 925}

\Rightarrow n > 29, 5

\Rightarrow n \geq 30

\Rightarrow

Es müssen mindestes 30 CDs überprüft werden um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als

90 %

mindestens eine Raubkopie zu entdecken.

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Teilaufgabe 3b

Teilaufgabe 4a

Teilaufgabe 4b

Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Binomialverteilung

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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