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Lösung Abitur Bayern 2005 Mathematik LK Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe
Teilaufgabe 3a  (6 BE)
In der Ebene   H :   x 3   =   3   liegen zwei parallele Schienen   s 1   und   s 2  . Die Schiene   s 1   wird durch die Gerade   s 1 :     x → "\[Rule]"   =   ( 7 1 3 )   +   τ ( 1 2 0 )   mit τ ∈ R dargestellt. Auf den Schienen   s 1   und   s 2   ruht eine Kugel mit dem Mittelpunkt M(18|28|5) und dem Radius r=3.
Berechnen Sie die Koordinaten des Punkts S, in dem die Kugel die Schiene   s 1   berührt.
[Ergebnis: S(20|27|3)]
 
Lösung zu Teilaufgabe 3a
Berührungspunkt der Tangente an eine Kugel



gegeben:

  H :   x 3   =   3   (zur   x 1 x 2  -Ebene parallele Ebene mit Abstand 3)

  s 1 :   x → "\[Rule]"   =   ( 7 1 3 )   +   τ ( 1 2 0 )  ;   s 1   ||   s 2  

Kugel um M(18|28|5) mit r = 3


self::rueckwandlungAmp( href="/al_upload/2005/LK/Analytische%20Geometrie/VI/3a/loesung/abi2005_lk_A6_3a.wrl" target="_blank", )
Der Punkt S liegt auf der Geraden   s 1  .

→   x S → "\[Rule]"   =   ( 7 1 3 )   +   τ S ( 1 2 0 )  

Da Tangente und Berührungsradius senkrecht aufeinander stehen ist das Skalarprodukt aus dem Vektor   MS → "\[Rule]"   und dem Richtungsvektor der Geraden gleich Null.
  [ ( 7 1 3 )   +   τ S ( 1 2 0 )   -   ( 18 28 5 ) ]   · ( 1 2 0 )   =   0  
  [ ( - 11 - 27 - 2 )   +   τ S ( 1 2 0 ) ]   · ( 1 2 0 )   =   0  

-65 + 5  τ S   = 0
5  τ S   = 65
  τ S   = 13
  x S → "\[Rule]"   =   ( 7 1 3 )   +   13 ( 1 2 0 )   =   ( 20 27 3 )  

→ S(20|27|3)
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Themen dieser Aufgabe:
Berührungspunkt der Tangente an eine Kugel
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