Lösung Abitur Bayern 2005 Mathematik GK Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2b (7 BE)

Man stelle sich zudem den Punkt B als Gipfel eines steilen Berges vor. Wie nahe fliegt der Sportflieger am Gipfel vorbei?

Lösung zu Teilaufgabe 2b

Abstand Punkt - Gerade

Vorüberlegung:

g : \vec{x} = \vec{x_{0}} + δ \vec{a}

F : \vec{x_{F}} = \vec{x_{0}} + δ_{F} \vec{a}

d: Abstand ist Lot des Punktes B auf die Gerade g

\vec{d} · \vec{a} = 0

\vec{d} = \vec{x_{F}} - \vec{b}

[\vec{x_{F}} - \vec{b}] · \vec{a} = 0

[\vec{x_{0}} + δ_{F} \vec{a} - \vec{b}] · \vec{a} = 0

→ liefert eine Gleichung zur Berechnung von

δ_{F}

→ mit

δ_{F}

berechnet man die Koordinaten von F

d = \overline{FB}

[(\begin{matrix} 0 \\ - 7 \\ 0 \end{matrix}) + δ_{F} (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 4 \\ 4 \\ 3 \end{matrix})] \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) = 0

-7 +

2 δ_{F}

-7 = 0

δ_{F} = 7

\vec{x_{F}} = (\begin{matrix} 0 \\ - 7 \\ 0 \end{matrix}) + 7 (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 7 \end{matrix})

d = \overline{FB} = \sqrt{{(\begin{matrix} 4 \\ 4 \\ - 4 \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{48} = 4 \sqrt{3} LE

Der Sportflieger fliegt mit einer Entfernung von

4 \sqrt{3} LE

am Gipfel vorbei.

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Teilaufgabe 2b

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Themen dieser Aufgabe:

Abstand Punkt - Gerade

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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