Lösung Abitur Bayern 2005 Mathematik GK Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1a (4 BE)

Die Punkte A(6|4|5), B(4|4|3), C(3|4|4) und D(3|0|4) bilden eine dreiseitige Pyramide ABCD mit Spitze in D.

Zeigen Sie, dass die Grundfläche ABC dieser Pyramide ein rechtwinkliges Dreieck ist.

Lösung zu Teilaufgabe 1a

Nachweis - rechtwinkliges Dreieck

gegeben: A(6|4|5), B(4|4|3), C(3|4|4)

zu zeigen:

Δ

ABC ist rechtwinklig

\vec{AB} = (\begin{matrix} - 2 \\ 0 \\ - 2 \end{matrix}), \vec{BA} = (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{matrix})

\vec{BC} = (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

\vec{AC} = (\begin{matrix} - 3 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix})

\vec{BA} · \vec{BC} = (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) = 0

\Rightarrow

rechter Winkel bei

B

Schritt einblenden / ausblenden

Skalarprodukt

Skalarprodukt:

\vec{a} · \vec{b} = \vec{| a |} · \vec{| b |} · cos α

für

α

= 90

^{\circ}

folgt cos

α

= 0
also

\vec{a} · \vec{b} = 0

Für diese Aufgabe errechnet sich

\vec{BA} · \vec{BC} = 0

, also hat dasDreieck ABC bei B einen rechten Winkel.

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Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

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Themen dieser Aufgabe:

Nachweis - rechtwinkliges Dreieck

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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