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Abitur 2005 Mathematik GK Analytische Geometrie V
Die Punkte A(6|4|5), B(4|4|3), C(3|4|4) und D(3|0|4) bilden eine dreiseitige Pyramide ABCD mit Spitze in D.
Teilaufgabe 1a (4 BE)
Zeigen Sie, dass die Grundfläche ABC dieser Pyramide ein rechtwinkliges Dreieck ist.
Teilaufgabe 1b (4 BE)
Tragen Sie die Pyramide in ein Koordinatensystem ein (vgl. Skizze).
Teilaufgabe 1c (5 BE)
Stellen Sie eine Gleichung der Ebene E, in der die Grundfläche ABC der Pyramide liegt, in Normalenform auf.
Teilaufgabe 1d (4 BE)
Berechnen Sie das Volumen der Pyramide.
Teilaufgabe 1e (3 BE)
Ein Schatten der Pyramide in der -Ebene entsteht durch Parallelprojektion in Richtung des Vektors . Zeichnen Sie diesen Schatten in das Koordinatensystem ein.
Teilaufgabe 1f (4 BE)
Durch Verschieben der Pyramidenspitze entlang einer Geraden entstehen weitere Pyramiden mit Grundfläche ABC. Für welche Gerade erhält man dabei Pyramiden, die bei der genannten Projektion denselben Schatten wie die ursprüngliche Pyramide ABCD werfen? Begründen Sie, warum jede dieser Pyramiden den gleichen Rauminhalt besitzt.
Man stelle sich die Gerade AD als Flugroute eines Passagierflugzeugs vor sowie einen Sportflieger, der entlang einer Geraden durch den Punkt (0|-7|0) in Richtung des Vektors fliegt.
Teilaufgabe 2a (9 BE)
Weisen Sie nach, dass die Flugbahn des Sportfliegers die des Passagierflugzeugs kreuzt und berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts der Flugbahnen. Unter welchem Winkel schneiden sich die beiden Flugbahnen?
Teilaufgabe 2b (7 BE)
Man stelle sich zudem den Punkt B als Gipfel eines steilen Berges vor. Wie nahe fliegt der Sportflieger am Gipfel vorbei?
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Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
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