Lösung Abitur Bayern 2004 Mathematik GK Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1c (7 BE)

W(ln4|0) ist der einzige Wendepunkt des Graphen

G_{f}

(Nachweis nicht verlangt). Zeigen Sie, dass die Gerade n mit der Gleichung

y = - x + ln4

durch W verläuft und auf der Wendetangente senkrecht steht.
Ergänzen Sie n in nebenstehender Abbildung.
Berechnen Sie den Abstand des Ursprungs von der Geraden n.

Lösung zu Teilaufgabe 1c

Lagebeziehung Punkt und Gerade

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geg.:

Wendepunkt W: W(ln4|0)

Gerade n: y = -x + ln4

zu zeigen:

W \in n

einsetzen der Koordinaten von W in n

0 = - ln4 + ln4
0 = 0 w.A.

\Rightarrow W \in n

y = -x + ln4

m_{1} = y^{'} = - 1

m_{2} = f^{'} (ln4)

f^{'} (x) = 16 \frac{e^{x}}{{(e^{x} + 4)}^{2}}

f^{'} (ln4) = 16 \frac{e^{ln4}}{{(e^{ln4} + 4)}^{2}}

f^{'} (ln4) = 16 \frac{4}{{(4 + 4)}^{2}} = \frac{16 · 4}{8^{2}} = 1

Für senkrecht aufeinander stehende Geraden gilt:

m_{1} · m_{2} = - 1

-1· 1 = -1

\Rightarrow

n steht senkrecht auf der Wendetangente

Skizze

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Abstand Punkt - Gerade

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d^{2} + d^{2} = {(ln4)}^{2}

Satz des Pythagoras

d^{2} = \frac{{(ln4)}^{2}}{2}

d = \sqrt{\frac{{(ln4)}^{2}}{2}} = \frac{ln4}{\sqrt{2}} \approx 1

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

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Teilaufgabe 3a

Teilaufgabe 3b

Teilaufgabe 3c

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Themen dieser Aufgabe:

Lagebeziehung Punkt und Gerade

Skizze

Abstand Punkt - Gerade

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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