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Lösung Abitur Bayern 2004 Mathematik GK Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1a  (4 BE)

Die nebenstehende Abbildung zeigt den Graphen  ${\displaystyle G_f}$  der Funktion  ${\displaystyle f:x\mapsto 2\text{·}\frac{e^x-4}{e^x+4}}$  mit dem Definitionsbereich  ${\displaystyle D_f}$  = R.

Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts S von  ${\displaystyle G_f}$  mit der y-Achse. Bestimmen Sie rechnerisch das Verhalten von f für  ${\displaystyle x\to -\infty }$  und für  ${\displaystyle x\to +\infty }$ .
(Hinweis: Zur Bestimmung des Grenzwerts für  ${\displaystyle x\to +\infty }$  kann z. B. zunächst im Zähler und Nenner  ${\displaystyle e^x}$  ausgeklammert werden.)

 

Lösung zu Teilaufgabe 1a

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Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

 ${\displaystyle f:x\mapsto 2\text{·}\frac{e^x-4}{e^x+4}}$ 

Schnittpunkt mit der y-Achse:  ${\displaystyle \Rightarrow x=0}$ 

 ${\displaystyle f\left(0\right)=2\text{·}\frac{e^0-4}{e^0+4}}$ 

 ${\displaystyle f\left(0\right)=2\text{·}\frac{-3}{5}=-\frac{6}{5}}$ 

 ${\displaystyle \Rightarrow S\left(0|-\frac{6}{5}\right)}$ 

Verhalten der Funktion an den Rändern des Definitionsbereichs

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

 ${\displaystyle \underset{x\to -\infty }{lim}2\text{·}\frac{\stackrel{\stackrel{\nearrow 0}{︷}}{e^x}-4}{\underset{\underset{\searrow 0}{︸}}{e^x}+4}=2\text{·}(-1)=-2}$ 

 ${\displaystyle \underset{x\to +\infty }{lim}2\text{·}\frac{e^x-4}{e^x+4}=\underset{x\to +\infty }{lim}2\text{·}\frac{e^x\left(1-\stackrel{\stackrel{\nearrow 0}{︷}}{\frac{4}{e^x}}\right)}{e^x\left(1+\underset{\underset{\searrow 0}{︸}}{\frac{4}{e^x}}\right)}=2}$ 

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