Abitur 2004 Mathematik GK Infinitesimalrechnung I

Die nebenstehende Abbildung zeigt den Graphen

G_{f}

der Funktion

f : x \mapsto 2 · \frac{e^{x} - 4}{e^{x} + 4}

mit dem Definitionsbereich

D_{f}

= R.

Teilaufgabe 1a (4 BE)

Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts S von

G_{f}

mit der y-Achse. Bestimmen Sie rechnerisch das Verhalten von f für

x \to - \infty

und für

x \to + \infty

.
(Hinweis: Zur Bestimmung des Grenzwerts für

x \to + \infty

kann z. B. zunächst im Zähler und Nenner

e^{x}

ausgeklammert werden.)

Teilaufgabe 1b (5 BE)

Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von

G_{f}

mit Hilfe der ersten Ableitung.
[Zur Kontrolle:

f^{'} (x) = 16 · \frac{e^{x}}{{(e^{x} + 4)}^{2}}

]

Teilaufgabe 1c (7 BE)

W(ln4|0) ist der einzige Wendepunkt des Graphen

G_{f}

(Nachweis nicht verlangt). Zeigen Sie, dass die Gerade n mit der Gleichung

y = - x + ln4

durch W verläuft und auf der Wendetangente senkrecht steht.
Ergänzen Sie n in nebenstehender Abbildung.
Berechnen Sie den Abstand des Ursprungs von der Geraden n.

Teilaufgabe 2a (3 BE)

Begründen Sie, dass f umkehrbar ist, und geben Sie den Definitionsbereich der Umkehrfunktion

f^{- 1}

an.

Teilaufgabe 2b (3 BE)

Zeichnen Sie den Graphen

G_{f^{- 1}}

der Umkehrfunktion in die nebenstehende Abbildung ein.

Teilaufgabe 2c (4 BE)

Geben Sie jeweils ein Beispiel an für den Term
- einer Funktion g mit

D_{g}

= R, die wie f die Nullstelle ln4 hat, aber nicht umkehrbar ist;
- einer Funktion h mit

D_{h}

= R, die wie f die Nullstelle ln4 hat und umkehrbar ist, deren Umkehrfunktion aber in ganz R definiert ist.

Teilaufgabe 3a (4 BE)

Zeigen Sie, dass die Funktion

F : x \mapsto 4 · ln (e^{x} + 4) - 2 x

mit

D_{F} = R

eine Stammfunktion von f ist.

Teilaufgabe 3b (6 BE)

Der Schnittpunkt von

G_{f}

und

G_{f^{- 1}}

hat näherungsweise die Koordinaten (-1,8 | -1,8). Kennzeichnen Sie in der Abbildung die Fläche, deren Inhalt durch

A = \int_{- 1, 8}^{ln4} (x - f (x)) dx

angenähert wird.
Berechnen Sie A.

Teilaufgabe 3c (4 BE)

Berechnen Sie unter Verwendung des Ergebnisses für A einen Näherungswert für den Inhalt des Flächenstücks, das von

G_{f}, G_{f^{- 1}}

und der Geraden n eingeschlossen wird.

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 1c

Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 2c

Teilaufgabe 3a

Teilaufgabe 3b

Teilaufgabe 3c

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