Lösung Abitur Bayern 2003 Mathematik LK Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2a (4 BE)

Das abgebildete Zelt - geometrisch betrachtet ein gerades Prisma - hat einen rechteckigen Grundriss mit den Seitenlängen

\frac{3}{2} a

und

b

. Die Front besteht aus einem Rechteck mit den Seitenlängen

\frac{3}{2} a

und

a

sowie einem aufgesetzten gleichschenkligen Dreieck der Höhe

a

Zeigen Sie, dass für den Rauminhalt

V

des Zelts und für den Flächeninhalt

S

der benötigten Zeltplane (ohne Boden und Laschen, das Zelt ist vollständig geschlossen) gilt:

V = \frac{9}{4} a^{2} b, S = \frac{9}{2} a^{2} + \frac{9}{2} a b

Lösung zu Teilaufgabe 2a

Volumen der Teilkörper

V_{Zelt} = V_{Quader} + V_{Prisma}

= \frac{3}{2} \cdot a \cdot b \cdot a + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot a \cdot a \cdot b

= \frac{3}{2} a^{2} b + \frac{3}{4} a^{2} b

= \frac{9}{4} a^{2} b

Flächenberechnung

Um den Flächeninhalt

S

zu berechnen benötigen wir noch die Seitenlänge

u

des Dreiecks:

Aus dem Satz des Pythagoras folgt:

u^{2} = a^{2} + {(\frac{3}{4} a)}^{2} = a^{2} + \frac{9}{16} a^{2} = \frac{25}{16} a^{2}

\Rightarrow u = \frac{5}{4} a

\Rightarrow S = 2 \cdot

Front- bzw. Rückseite +

2 \cdot

Seitenfläche +

2 \cdot

Dreieck +

2 \cdot

Dachseite

\Rightarrow S = 2 \cdot (\frac{3}{2} a \cdot a) + 2 \cdot (a \cdot b) + 2 \cdot (\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} a \cdot a) + 2 \cdot (\frac{5}{4} a \cdot b)

= 3 a^{2} + 2 a b + \frac{3}{2} a^{2} + \frac{5}{2} a b

= \frac{9}{2} a^{2} + \frac{9}{2} a b

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Teilaufgabe 2b

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Themen dieser Aufgabe:

Volumen der Teilkörper

Flächenberechnung

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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