Lösung Abitur Bayern 2003 Mathematik LK Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1e (3 BE)

G_{4}

schließt im zweiten Quadranten mit den Koordinatenachsen ein sich ins Unendliche erstreckendes Flächenstück ein. Begründen Sie, dass dieses einen endlichen Inhalt hat. Test

Lösung zu Teilaufgabe 1e

Uneigentliches Integral

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A = \int_{- \infty}^{0} f_{4} (x) d x = lim_{b \to \infty} \int_{- b}^{0} f_{4} (x) d x =

Schritt einblenden / ausblenden

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Ist F eine Stammfunktion von f dann gilt:

\int_{a}^{b} f (x) ⅆ x = {[F (x)]}_{a}^{b} = F (b) - F (a)

= lim_{b \to \infty} {[F_{4} (x)]}_{b}^{0} = lim_{b \to \infty} [F_{4} (0) - F_{4} (- b)] =

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Nach Aufgabe 1b) ist

F_{k} (x) = 2 f_{k + 2} (x) + c

Stammfunktion zu

f_{k} (x)

.

Für

k = 4

ist also

F_{4} (x) = 2 f_{6} (x) + c

= lim_{b \to \infty} [2 f_{6} (0) + c - 2 f_{6} (- b) - c] = lim_{b \to \infty} (2 f_{6} (0) - \underset{\to 0 (s . 1 a)}{\underset{︸}{2 f_{6} (- b)}}) = 2 f_{6} (0)

\Rightarrow

Der Inhalt der Fläche

A

(gelb) ist gleich

2 f_{6} (0)

also endlich.

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Uneigentliches Integral

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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