Abitur 2003 Mathematik LK Infinitesimalrechnung II

Gegeben ist die Schar der in

ℝ

definierten Funktionen

f_{k} : x \mapsto \frac{1}{2} (k - x) \sqrt{e^{x}}

mit

k \in ℝ

. Der jeweilige Graph von

f_{k}

wird mit

G_{k}

bezeichnet.

Teilaufgabe 1a (3 BE)

Geben Sie

f_{k} (0)

sowie die Nullstelle von

f_{k}

an.
Untersuchen Sie das Verhalten von

f_{k}

für

x \to - \infty

und für

x \to + \infty

Teilaufgabe 1b (6 BE)

Zeigen Sie, dass

f_{k}^{'} (x) = \frac{1}{2} f_{k - 2} (x)

gilt, und ermitteln Sie hiermit Funktionsterme der Ableitungen

f_{k}^{''}

und

f_{k}^{'''}

sowie einer Stammfunktion von

f_{k}

Teilaufgabe 1c (5 BE)

Zeigen Sie, dass

G_{k}

genau einen Hochpunkt und genau einen Wendepunkt besitzt, und bestimmen Sie die Koordinaten dieser Punkte.

Teilaufgabe 1d (5 BE)

Zeichnen Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse

G_{4}

und

G_{6}

in ein gemeinsames Koordinatensystem ein.

Teilaufgabe 1e (3 BE)

G_{4}

schließt im zweiten Quadranten mit den Koordinatenachsen ein sich ins Unendliche erstreckendes Flächenstück ein. Begründen Sie, dass dieses einen endlichen Inhalt hat. Test

Teilaufgabe 1f (7 BE)

Geben Sie an, welche Bedeutung die Funktion

2 \cdot f_{6}

für die Funktion

f_{4}

hat. Bestimmen Sie mit Hilfe von

G_{6}

aus Ihrer Zeichnung die positive Zahl

z

(auf eine Dezimale genau), für die

\int_{0}^{z} f_{4} (x) d x = 0

ist.
Tragen Sie dazu entsprechende Hilfslinien in die Zeichnung ein und erläutern Sie Ihr Vorgehen.

Überprüfen Sie Ihre graphisch gewonnene Näherungslösung, indem Sie

z

mit Hilfe des Taschenrechners auf eine Dezimale genau ermitteln.

Das abgebildete Zelt - geometrisch betrachtet ein gerades Prisma - hat einen rechteckigen Grundriss mit den Seitenlängen

\frac{3}{2} a

und

b

. Die Front besteht aus einem Rechteck mit den Seitenlängen

\frac{3}{2} a

und

a

sowie einem aufgesetzten gleichschenkligen Dreieck der Höhe

a

Teilaufgabe 2a (4 BE)

Zeigen Sie, dass für den Rauminhalt

V

des Zelts und für den Flächeninhalt

S

der benötigten Zeltplane (ohne Boden und Laschen, das Zelt ist vollständig geschlossen) gilt:

V = \frac{9}{4} a^{2} b, S = \frac{9}{2} a^{2} + \frac{9}{2} a b

Teilaufgabe 2b (7 BE)

Bestimmen Sie

a

und

b

so, dass

V = 121, 5 m^{3}

ist und dass der Materialverbrauch an Zeltplane möglichst gering ist. Wie viele

m^{2}

Zeltplane werden in diesem Fall benötigt?

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 1c

Teilaufgabe 1d

Teilaufgabe 1e

Teilaufgabe 1f

Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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