Lösung Abitur Bayern 2003 Mathematik LK Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 3b (6 BE)

In Ihrer Zeichnung sollten P,

Q_{3}

R_{3}

auf einer Geraden liegen.
Warum liegen die Punkte P,

Q_{t}

R_{t}

stets auf einer Geraden

s_{t}

? (Begründung ohne Rechnung genügt.)
Beschreiben Sie, welcher besonderen Lage sich die Geraden

s_{t}

für

t \to 1

bzw. für

t \to 2

nähern und geben Sie jeweils eine Gleichung der zugehörigen Grenzgeraden an.

Lösung zu Teilaufgabe 3b

Schnitt Ebene und Gerade

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Die Punkte

A^{'}

B^{'}

C^{'}

liegen als Spurpunkte in der

x_{1} x_{2}

-Ebene.
Die Punkte A, B, und C liegen in der Ebene ABC, welche mit der

x_{1} x_{2}

-Ebene einen Winkel einschließt (siehe 2c).
Daher liegen die Schnittpunkte P,

Q_{t}

, und

R_{t}

auf der Schnittgeraden der beiden Ebenen.

Q_{t} = AC \cap A' C' = AC \cap E_{x_{1} x_{2}}

g_{AC} : x = (\begin{matrix} 5 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) + μ (\begin{matrix} - 5 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Schnitt mit

x_{1} x_{2}

-Ebene:

x_{3} = 0

x_{3} = 0

\Rightarrow 1 + μ (t - 1) = 0

\Rightarrow μ = \frac{- 1}{(t - 1)}

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Einsetzen des Wertes für

μ

in die Geradengleichung:

\Rightarrow Q_{t} = (\begin{matrix} 5 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) + \frac{- 1}{t - 1} \cdot (\begin{matrix} - 5 \\ 0 \\ t - 1 \end{matrix})

= (\begin{matrix} 5 + \frac{5}{t - 1} \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

R_{t} = BC \cap B' C' = BC \cap E_{x_{1} x_{2}}

\Rightarrow Q_{t} = (\begin{matrix} 5 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) + \frac{- 1}{t - 1} \cdot (\begin{matrix} - 5 \\ 0 \\ t - 1 \end{matrix})

= (\begin{matrix} 5 + \frac{5}{t - 1} \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

R_{t} = BC \cap B' C' = BC \cap E_{x_{1} x_{2}}

g_{BC} : x = (\begin{matrix} 0 \\ 4 \\ 2 \end{matrix}) + ρ (\begin{matrix} 0 \\ - 4 \\ t - 2 \end{matrix})

x_{3} = 0

\Rightarrow 0 = 2 + ρ (t - 2)

\Rightarrow ρ = \frac{- 2}{(t - 2)}

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Einsetzen von

ρ

in die Geradengleichung:

\Rightarrow R_{t} = (\begin{matrix} 0 \\ 4 \\ 2 \end{matrix}) + \frac{- 2}{t - 2} \cdot (\begin{matrix} - 0 \\ - 4 \\ t - 2 \end{matrix})

\Rightarrow R_{t} = (\begin{matrix} 0 \\ 4 - 4 · \frac{- 2}{t - 2} \\ 0 \end{matrix})

P = (10|-4|0)

t \to 1 \Rightarrow Q_{t} \to Q (\infty | 0 | 0)

\Rightarrow g_{t \to 1} \vec{x} = (\begin{matrix} 10 \\ - 4 \\ 0 \end{matrix}) + σ (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

t \to 2 \Rightarrow R_{t} \to R (0 | \infty | 0)

\Rightarrow g_{t \to 2} : \vec{x} = (\begin{matrix} 10 \\ - 4 \\ 0 \end{matrix}) + ω (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

Die beiden Grenzgeraden sind

g_{t \to 1} \vec{x} = (\begin{matrix} 10 \\ - 4 \\ 0 \end{matrix}) + σ (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

und

g_{t \to 2} : \vec{x} = (\begin{matrix} 10 \\ - 4 \\ 0 \end{matrix}) + ω (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

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Teilaufgabe 3b

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Themen dieser Aufgabe:

Schnitt Ebene und Gerade

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