Abitur 2003 Mathematik LK Analytische Geometrie VI

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte , A(5|0|1), B(0|4|2) und C(0|0|t) mit 0 < t < 6 gegeben.

Teilaufgabe 1a (7 BE)

Berechnen Sie für die Gerade AB den Schnittpunkt mit der

x_{1} x_{2}

-Ebene sowie ihren Abstand d zur

x_{3}

-Achse.

(Teilergebnis:

d = \frac{20}{\sqrt{41}}

)

Teilaufgabe 1b (3 BE)

Zeigen Sie, dass der Flächeninhalt des Dreiecks ABC nicht kleiner als 10 ist.

Teilaufgabe 1c (5 BE)

Untersuchen Sie, für welche der zulässigen Werte von t das Dreieck ABC rechtwinklig ist.

Ferner ist der Punkt S(0|0|6) gegeben.

A^{'}

B^{'}

C^{'}

sind die Spurpunkte der Geraden SA, SB, SC in der Koordinatenebene

x_{3} = 0

Teilaufgabe 2a (4 BE)

Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte

A^{'}

B^{'}

C^{'}

.
[Teilergebnis:

A^{'}

(6|0|0),

B^{'}

(0|6|0)]

Teilaufgabe 2b (3 BE)

Legen Sie ein Koordinatensystem an (ganze Seite; Querformat; Koordinatenursprung in der Blattmitte).
Tragen Sie darin die Pyramide

A^{'} B^{'} C^{'} S

und das Dreieck ABC für t = 3 ein.

Teilaufgabe 2c (4 BE)

Berechnen Sie den Winkel, den die Ebene ABC für t = 3 mit der

x_{1} x_{2}

-Ebene bildet.

Teilaufgabe 2d (6 BE)

Ermitteln Sie den Wert von t, für den das Dreieck ABC die Pyramide in zwei volumengleiche Teile zerlegt.

Der Schnittpunkt von AB mit

A^{'} B^{'}

heißt P, der von AC mit

A^{'} C^{'}

bzw. BC mit

B^{'} C^{'}

heißt

Q_{t}

bzw.

R_{t}

(

t \neq 1

und

t \neq 2

Teilaufgabe 3a (2 BE)

Bringen Sie für t = 3 die genannten Geraden in Ihrer Zeichnung zum Schnitt.

Teilaufgabe 3b (6 BE)

In Ihrer Zeichnung sollten P,

Q_{3}

R_{3}

auf einer Geraden liegen.
Warum liegen die Punkte P,

Q_{t}

R_{t}

stets auf einer Geraden

s_{t}

? (Begründung ohne Rechnung genügt.)
Beschreiben Sie, welcher besonderen Lage sich die Geraden

s_{t}

für

t \to 1

bzw. für

t \to 2

nähern und geben Sie jeweils eine Gleichung der zugehörigen Grenzgeraden an.

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 1c

Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 2c

Teilaufgabe 2d

Teilaufgabe 3a

Teilaufgabe 3b

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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