Lösung Abitur Bayern 2003 Mathematik LK Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1c (5 BE)

Untersuchen Sie, für welche der zulässigen Werte von t das Dreieck ABC rechtwinklig ist.

Lösung zu Teilaufgabe 1c

Nachweis - rechtwinkliges Dreieck

Es gibt drei Möglichkeiten für ein rechtwinkiges Dreieck:

Der rechte Winkel liegt bei A, B, oder C.

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Rechter Winkel am Punkt A:

\vec{AB} · \vec{AC} = 0

\Rightarrow (\begin{matrix} - 5 \\ 4 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 - 5 \\ 0 - 0 \\ t - 1 \end{matrix}) = 0

\Rightarrow (\begin{matrix} - 5 \\ 4 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - 5 \\ 0 \\ t - 1 \end{matrix}) = 0

\Rightarrow 25 + t - 1 = 0

\Rightarrow t = - 24

-24 liegt nicht im geforderten Bereich 0 < t < 6.

Rechter Winkel am Punkt B:

\vec{AB} · \vec{BC} = 0

\Rightarrow (\begin{matrix} - 5 \\ 4 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 - 0 \\ 0 - 4 \\ t - 2 \end{matrix}) = 0

\Rightarrow (\begin{matrix} - 5 \\ 4 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 \\ - 4 \\ t - 2 \end{matrix}) = 0

\Rightarrow - 16 + t - 2 = 0

\Rightarrow t = 18

18 liegt nicht im geforderten Bereich 0 < t < 6.

Rechter Winkel am Punkt C:

\vec{AC} · \vec{BC} = 0

\Rightarrow (\begin{matrix} - 5 \\ 0 \\ t - 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 \\ - 4 \\ t - 2 \end{matrix}) = 0

\Rightarrow (t - 1) · (t - 2) = 0

\Rightarrow t = 1 ⋁ t = 2

Für t = 1 oder t = 2 ergeben sich rechtwinklige Dreiecke ABC.

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Teilaufgabe 3b

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Nachweis - rechtwinkliges Dreieck

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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