Lösung Abitur Bayern 2003 Mathematik LK Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2d (6 BE)

Ermitteln Sie den Wert von t, für den das Dreieck ABC die Pyramide in zwei volumengleiche Teile zerlegt.

Lösung zu Teilaufgabe 2d

Volumen einer Pyramide

Zeichnung: Die Pyramide

A^{'} B^{'} C^{'} S

wird durch das Dreieck ABC geteilt.

Volumen der Pyramide

A^{'} B^{'} C^{'} S

Schritt einblenden / ausblenden

Volumen einer Pyramide

Volumen einer Pyramide:

V_{pyr} = \frac{1}{3} G · h

,

mit G: Grundfläche und h: Höhe

Grundfläche: Dreiecksfläche von

A^{'} B^{'} C^{'}

Höhe:

\overline{C^{'} S}

V_{A^{'} B^{'} C^{'} S} = \frac{1}{3} · (\frac{1}{2} · 6 · 6) · 6

= 36 VE

Volumen der oberen Teilpyramide ABCS

Grundfläche: Dreiecksfläche von

ABS

V_{ABCS} = \frac{1}{3} · \frac{1}{2} | \vec{AB} \otimes \vec{AS} | · h

Schritt einblenden / ausblenden

Vektorprodukt

Berechnung des Kreuzproduktes:

\vec{AB} \otimes \vec{AS} = | \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ - 5 & 4 & 1 \\ - 5 & 0 & 5 \end{matrix} | = (\begin{matrix} 4 · 5 - 0 · 1 \\ - 1 · (- 5 · 5 - (- 5 · 1)) \\ - 5 · 0 - (- 5 · 4) \end{matrix}) = (\begin{matrix} 20 \\ 20 \\ 20 \end{matrix})

| (\begin{matrix} 20 \\ 20 \\ 20 \end{matrix}) | = \sqrt{1200} = 20 · \sqrt{3}

= \frac{1}{3} · \frac{1}{2} 20 · \sqrt{3} · h

h ist der Abstand der Dreiecks-Ebene ABS von C:

Schritt einblenden / ausblenden

Ebene ABS in Parameterform:

E^{P} : \vec{x} = (\begin{matrix} 5 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} - 5 \\ 4 \\ 1 \end{matrix}) + l \cdot (\begin{matrix} - 5 \\ 0 \\ 5 \end{matrix})

Umwandelung in Normalenform:

Schritt einblenden / ausblenden

Bestimmung eines Normalenvektors

Bestimmung eines Normalenvektors:

| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ - 5 & 4 & 1 \\ - 5 & 0 & 5 \end{matrix} | = (\begin{matrix} 4 · 5 - 0 · 1 \\ - 1 · (- 5 · 5 - (- 5 · 1)) \\ - 5 · 0 - (- 5 · 4) \end{matrix}) = (\begin{matrix} 20 \\ 20 \\ 20 \end{matrix}) = 20 \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

\vec{n} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

| \vec{n} | = | (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) | = \sqrt{3}

\Rightarrow E^{N} : \vec{x} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) = 6

\Rightarrow E^{HN} : \frac{\vec{x} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) - 6}{\sqrt{3}} = 0

Bestimmung des Abstandes:

h = \frac{(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ t \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) - 6}{\sqrt{3}}

= | \frac{t - 6}{\sqrt{3}} |

\Rightarrow V_{ABCS} = \frac{1}{3} · \frac{1}{2} · (20 \sqrt{3}) · \frac{| t - 6 |}{\sqrt{3}}

= \frac{10}{3} · | t - 6 |

Forderung:

V_{ABCS} = \frac{1}{2} · V_{A' B' C' S}

\Rightarrow \frac{10}{3} · | t - 6 | = 18

\Rightarrow \frac{- 10}{3} t + 20 = 18

\Rightarrow t = 0, 6

Bei t = 0,6 teilt das Dreieck die Pyramide in zwei volumengleiche Teilkörper von je 18 VE.

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Themen dieser Aufgabe:

Volumen einer Pyramide

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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