Lösung Abitur Bayern 2003 Mathematik LK Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2b (6 BE)

Das Sechseck ABCDEF rotiert nun um die Achse AD.
Beschreiben Sie das Aussehen des dabei entstehenden Rotationskörpers. Ermitteln Sie eine Gleichung der kleinsten Kugel, die den Rotationskörper enthält.
Liegt der Ursprung des Koordinatensystems innerhalb oder außerhalb dieses Rotationskörpers? Begründen Sie Ihre Antwort.

Lösung zu Teilaufgabe 2b

Rotationskörper

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Bei der Rotation des Sechsecks ABCDEF um die Achse AD entsteht ein Körper aus Zylinder und zwei Kegeln.

Schritt einblenden / ausblenden

Kugel

Die kleinste Kugel, die den Rotationskörper einbeschreibt, enthält die Punkte ABCDEF auf ihrer Oberfläche.

Der Mittelpunkt der Kugel ist der Punkt S.
Die Länge der Strecke

\overline{AS}

(siehe 2a) entspricht dem Radius der Kugel.

Kugel

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K : {(\overset{⇀}{x} - \overset{⇀}{m})}^{2} = r^{2}

{[\overset{⇀}{x} - (\begin{matrix} - 2 \\ 6 \\ 4 \end{matrix})]}^{2} = 18

{[(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} - 2 \\ 6 \\ 4 \end{matrix})]}^{2} = 18

Schritt einblenden / ausblenden

Lage des Ursprungs bezüglich des Rotationskörpers

Welche Lage der Ursprung bezüglich des Rotationskörpers besitzt, lässt sich ermitteln, indem man

\overset{⇀}{o} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

in die Kugelgleichung einsetzt.

{(\overset{⇀}{o} - \overset{⇀}{m})}^{2} < r^{2} \Rightarrow

Ursprung liegt innerhalb der Kugel

{(\overset{⇀}{o} - \overset{⇀}{m})}^{2} = r^{2} \Rightarrow

Ursprung liegt auf der Kugeloberfläche

{(\overset{⇀}{o} - \overset{⇀}{m})}^{2} > r^{2} \Rightarrow

Ursprung liegt außerhalb der Kugel

{(\begin{matrix} 2 \\ - 6 \\ - 4 \end{matrix})}^{2} = 18

56 > 18

\Rightarrow

Koordinatenursprung liegt außerhalb des Rotationskörpers

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Lösungen zu:

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Teilaufgabe 2b

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Themen dieser Aufgabe:

Rotationskörper

Kugel

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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