Lösung Abitur Bayern 2003 Mathematik LK Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2a (5 BE)

Ferner sind die Punkte A(1| 6| 1) und B(-2| 9| 1) gegeben.

Weisen Sie nach, dass sich die Punkte A und B zu einem regulären Sechseck ABCDEF mit dem Mittelpunkt S(-2| 6| 4) ergänzen lassen.
Ermitteln Sie die Koordinaten der Ergänzungspunkte C und D.

Lösung zu Teilaufgabe 2a

Reguläres Sechseck

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A(1| 6| 1), B(-2| 9| 1), S(-2| 6| 4)

\overline{AB} = \sqrt{{(\begin{matrix} - 3 \\ 3 \\ 0 \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{18}

\overline{AS} = \sqrt{{(\begin{matrix} - 3 \\ 0 \\ 3 \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{18}

\overline{BS} = \sqrt{{(\begin{matrix} 0 \\ - 3 \\ 3 \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{18}

Alle drei Seiten des Dreiecks ABS sind gleich lang. Das Dreieck ABS ist damit gleichseitig und kann zu einem regulären Sechseck ergänzt werden.

Lage eines Punktes

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Koordinaten des Punktes D:

\overset{⇀}{OD} = \overset{⇀}{OA} + 2 · \overset{⇀}{AS}

\overset{⇀}{OD} = (\begin{matrix} 1 \\ 6 \\ 1 \end{matrix}) + 2 \cdot (\begin{matrix} - 3 \\ 0 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 5 \\ 6 \\ 7 \end{matrix})

\Rightarrow D (- 5 | 6 | 7)

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Erläuterung

\overset{⇀}{SD} = \overset{⇀}{AS}

\overset{⇀}{OD} = \overset{⇀}{OA} + 2 · \overset{⇀}{AS}

Koordinaten des Punktes C:

\overset{⇀}{OC} = \overset{⇀}{OS} + \overset{⇀}{AB}

\overset{⇀}{OC} = (\begin{matrix} - 2 \\ 6 \\ 4 \end{matrix}) + (\begin{matrix} - 3 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 5 \\ 9 \\ 4 \end{matrix})

\Rightarrow C (- 5 | 9 | 4)

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Erläuterung

\overset{⇀}{SC} = \overset{⇀}{AB}

\overset{⇀}{OC} = \overset{⇀}{OS} + \overset{⇀}{AB}

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 1c

Teilaufgabe 1d

Teilaufgabe 1e

Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

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Themen dieser Aufgabe:

Reguläres Sechseck

Lage eines Punktes

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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