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Lösung Abitur Bayern 2003 Mathematik GK Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe
Teilaufgabe 1a  (7 BE)
Die nebenstehende Abbildung zeigt den Graphen G f einer ganzrationalen Funktion f dritten Grades mit dem Definitionsbereich D f = ℝ .
Bestimmen Sie mit Hilfe der in der Abbildung angegebenen Punkte von G_f die Funktionsgleichung von f.

[Ergebnis: f (x) = -1/12x^3 + 1/2x^2 ]
 
Lösung zu Teilaufgabe 1a
Funktionsgleichung ermitteln



Ganzrationale Funktion dritten Grades
f : y = ax^3 + bx^2 + cx + d
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I 2, 25 = 27a + 9b + 3c + d  II 0 = 6 36a + ... d  IV 0 = c
Schritt einblenden / ausblenden
I^` 3/4 = 9a + 3b  II ` 0 = 6a + b
Schritt einblenden / ausblenden
3/4 = 9a - 18a  3/4 = - 9a | : (-9)  Underscript[ a = -1/12, _]  b = - 6 (-1/12)  Underscript[b = 1/2, _]
Schritt einblenden / ausblenden
f : y = -1/12x^3 + 1/2x^2
Alternative Lösung



Ganzrationale Funktion dritten Grades mit einer doppelten Nullstellen bei x = 0 und einer einfachen Nullstellen bei x = 6 :

f ( x ) = a ⋅ ( x - 0 ) 2 ⋅ ( x - 6 )

f ( x ) = a x 2 ⋅ ( x - 6 )


Punkt P einsetzen und Parameter a bestimmen:

2 , 25 = 3 2 a ⋅ ( 3 - 6 )

2 , 25 = - 27 a

⇒ a = - 2 , 25 27 = - 1 12

Parameter a einsetzen und Funktionsgleichung bestimmen:

f ( x ) = - 1 12 x 2 ⋅ ( x - 6 ) = - 1 12 x 3 + 1 2 x 2
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