Lösung Abitur Bayern 2003 Mathematik GK Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2e (7 BE)

Geben Sie zwei Möglichkeiten an, das Prismenvolumen durch Schnitt des Prismas mit einer Ebene zu halbieren. Beschreiben Sie dazu genau die Lage der jeweiligen Schnittebene und geben Sie die Gleichungen der beiden Ebenen in Parameter- oder Normalenform an.

Lösung zu Teilaufgabe 2e

Halbieren des Volumens durch Schnitt mit einer Ebene, Ermitteln der Ebenengleichung

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

1. Möglichkeit:

Ebene durch C senkrecht zu AB

Schritt einblenden / ausblenden

Ebenengleichung

In der Schnittebene enthalten ist der Punkt C(3| -1| -4).

Da die Schnittebene senkrecht zu AB verläuft, ist

\overset{⇀}{AB}

ein Normalenvektor der Ebene.

\overset{⇀}{AB} = \overset{⇀}{n} = (\begin{matrix} \begin{matrix} 1 \\ 4 \end{matrix} \\ 1 \end{matrix})

Gleichung der Ebene:

\overset{⇀}{x} · \overset{⇀}{n} = \overset{⇀}{c} · \overset{⇀}{n}

E_{S_{1}} : \overset{⇀}{x} \cdot (\begin{matrix} \begin{matrix} 1 \\ 4 \end{matrix} \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} \begin{matrix} 3 \\ - 1 \end{matrix} \\ - 4 \end{matrix}) (\begin{matrix} \begin{matrix} 1 \\ 4 \end{matrix} \\ 1 \end{matrix})

2. Möglichkeit:

Ebene durch den Mittelpunkt von [AD], parallel zur Grundfläche

Schritt einblenden / ausblenden

Ebenengleichung

In der Schnittebene enthalten ist der Mittelpunkt der Seite AD.

M_{[AD]} = \frac{1}{2} · (\overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{d}) = (\begin{matrix} \begin{matrix} 3 \\ - 4 \end{matrix} \\ - 1 \end{matrix})

Da die Schnittebene parallel zur Grundfläche verläuft, hat sie den gleichen Normalenvektor wie die Ebenen

E_{1}

oder

E_{2}

\overset{⇀}{n} = (\begin{matrix} \begin{matrix} 2 \\ - 1 \end{matrix} \\ 2 \end{matrix})

Gleichung der Ebene:

\overset{⇀}{x} · \overset{⇀}{n} = \overset{⇀}{m} · \overset{⇀}{n}

E_{S_{2}} : \overset{⇀}{x} \cdot (\begin{matrix} \begin{matrix} 2 \\ - 1 \end{matrix} \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} \begin{matrix} 3 \\ - 4 \end{matrix} \\ - 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} \begin{matrix} 2 \\ - 1 \end{matrix} \\ 2 \end{matrix})

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Teilaufgabe 2d

Teilaufgabe 2e

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Themen dieser Aufgabe:

Halbieren des Volumens durch Schnitt mit einer Ebene, Ermitteln der Ebenengleichung

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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