Lösung Abitur Bayern 2003 Mathematik GK Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1c (5 BE)

Zeigen Sie, dass die Ebene

E_{1} : 2 x_{1} - x_{2} + 2 x_{3} + 1 = 0

senkrecht auf der Ebene H steht und das Dreieck ABC enthält.

Lösung zu Teilaufgabe 1c

Lagebeziehung von Ebenen

E_{1} : 2 x_{1} - x_{2} + 2 x_{3} + 1 = 0

E_{1} ∟ H

, wenn

{\overset{⇀}{n}}_{E_{1}} ∟ {\overset{⇀}{n}}_{H}

{\overset{⇀}{n}}_{E_{1}} · {\overset{⇀}{n}}_{H} = 0

(\begin{matrix} \begin{matrix} 2 \\ - 1 \end{matrix} \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} \begin{matrix} 1 \\ - 2 \end{matrix} \\ - 2 \end{matrix}) = 0

2 + 2 - 4 = 0
0 = 0 w. A.

\Rightarrow E_{1} ∟ H

zu zeigen:
Das Dreieck ABC liegt in der Ebene

E_{1}

.

Eine Ebene enthält das Dreieck ABC, wenn die Punkte A, B und C in dieser Ebene liegen.
A, B und C müssen die Ebenengleichung erfüllen.

A (1 | - 3 | - 3) \in E_{1} :

2 · 1 - (- 3) + 2 · (- 3) + 1 = 0

2 + 3 -6 + 1 = 0
0 = 0 w. A.

B (2 | 1 | - 2) \in E_{1} :

2 · 2 - 1 + 2 · (- 2) + 1 = 0

4 - 1 - 4 + 1 = 0
0 = 0 w. A.

C (3 | - 1 | - 4) \in E_{1} :

2 · 3 - (- 1) + 2 · (- 4) + 1 = 0

6 + 1 - 8 + 1 = 0
0 = 0 w. A.

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Themen dieser Aufgabe:

Lagebeziehung von Ebenen

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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