Lösung Abitur Bayern 2003 Mathematik GK Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2a (6 BE)

Das Dreieck ABC bildet die Grundfläche des dreiseitigen Prismas ABCDEF mit der Strecke [AD] als einer Seitenkante.

Zeigen Sie, dass AD senkrecht auf der Ebene

E_{1}

steht, und berechnen Sie die Koordinaten der fehlenden Punkte E und F. Fertigen Sie eine Skizze des Prismas an.

Lösung zu Teilaufgabe 2a

Skizze

Lagebeziehung Gerade und Ebene

Wenn

AD

senkrecht auf der Ebene

E_{1}

steht, sind

\overset{⇀}{AD}

und

{\overset{⇀}{n}}_{E_{1}}

linear abhängig.

AD ∟ E_{1} ⇒ \overset{⇀}{AD} = k· {\overset{⇀}{n}}_{E_{1}}

\overset{⇀}{AD} = (\begin{matrix} \begin{matrix} 4 \\ - 2 \end{matrix} \\ 4 \end{matrix}), {\overset{⇀}{n}}_{E_{1}} = (\begin{matrix} \begin{matrix} 2 \\ - 1 \end{matrix} \\ 2 \end{matrix})

(\begin{matrix} \begin{matrix} 4 \\ - 2 \end{matrix} \\ 4 \end{matrix}) = 2 \cdot (\begin{matrix} \begin{matrix} 2 \\ - 1 \end{matrix} \\ 2 \end{matrix}) \Rightarrow AD ∟ E_{1}

Lage eines Punktes

\overset{⇀}{OE} = \overset{⇀}{OD} + \overset{⇀}{AB}

\overset{⇀}{OE} = (\begin{matrix} \begin{matrix} 5 \\ - 5 \end{matrix} \\ 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} \begin{matrix} 1 \\ 4 \end{matrix} \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} \begin{matrix} 6 \\ - 1 \end{matrix} \\ 2 \end{matrix}) \Rightarrow E (6 | - 1 | 2)

\overset{⇀}{OF} = \overset{⇀}{OD} + \overset{⇀}{AC}

\overset{⇀}{OF} = (\begin{matrix} \begin{matrix} 5 \\ - 5 \end{matrix} \\ 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} \begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix} \\ - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} \begin{matrix} 7 \\ - 3 \end{matrix} \\ 0 \end{matrix}) \Rightarrow F (7 | - 3 | 0)

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Teilaufgabe 2c

Teilaufgabe 2d

Teilaufgabe 2e

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Themen dieser Aufgabe:

Skizze

Lagebeziehung Gerade und Ebene

Lage eines Punktes

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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