Lösung Abitur Bayern 2024 Mathematik Stochastik IV

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B 1c (4 BE)

Bestimmen Sie die Anzahl der Abonnenten, die man mindestens zufällig auswählen müsste, damit unter ihnen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99 % mindestens eine Person älter als 40 Jahre ist.

Lösung zu Teilaufgabe Teil B 1c

Binomialverteilung

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Text analysieren und Daten herauslesen:

"... einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99 % ist"

\Rightarrow

P \geq 0, 99

"... mindestens eine Person älter als

40

Jahre ist"

\Rightarrow

X \geq 1

Es muss also gelten:

Schritt einblenden / ausblenden

Bernoulli-Kette

Das Zufallsexperiment kann als Bernoulli-Kette der Länge

n

(Anzahl der Personen älter als

40

Jahre) mit der Trefferwahrscheinlichkeit

p = 0, 3

angesehen werden.

P_{0, 3}^{n} (X \geq 1) \geq 0, 99

Schritt einblenden / ausblenden

Gegenereignis

Die Wahrscheinlichkeit genau

k

Treffer bei

n

Versuchen zu erzielen beträgt:

P (k Treffer) = P_{p}^{n} (Z = k) = (\binom{n}{k}) \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k}

Dabei ist:

n =

Anzahl der Versuche

k =

Anzahl der Treffer

p =

Wahrscheinlichkeit eines Treffers pro Versuch

1 - p =

Wahrscheinlichkeit einer Niete pro Versuch

Spezialfall

k = 0

P (0 Treffer) = P_{p}^{n} (Z = 0) = \underset{1}{\underset{︸}{(\binom{n}{0})}} \cdot \underset{1}{\underset{︸}{p^{0}}} \cdot (1 - p)^{n - 0}

\Rightarrow P (0 Treffer) = (1 - p)^{n}

1 - 0, 7^{n} \geq 0, 99

Schritt einblenden / ausblenden

Rechenweg

1 - 0, 7^{n} \geq 0, 99

|

- 1

- 0, 7^{n} \geq - 0, 01

|

\cdot (- 1)

(da die Ungleichung mit einer negative Zahl multipliziert wird, ändert sich das Relationszeichen)

0, 7^{n} \leq 0, 01

0, 7^{n} \leq 0, 01

Schritt einblenden / ausblenden

Rechenweg

0, 7^{n} \leq 0, 01

|

\ln ()

\ln (0, 7^{n}) \leq \ln (0, 01)

n \cdot \ln (0, 7) \leq \ln (0, 01)

|

: \ln (0, 7)

(da die Ungleichung durch eine negative Zahl geteilt wird, ändert sich das Relationszeichen)

n \geq \frac{\ln 0, 01}{\ln 0, 7}

n \geq \frac{\ln 0, 01}{\ln 0, 7}

n \geq 12, 9

n \Rightarrow

kleinstmögliche Anzahl:

13

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Themen dieser Aufgabe:

Binomialverteilung

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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