Lösung Abitur Bayern 2020 Mathematik Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B c (6 BE)

Der Punkt

T (7 | 10 | 0)

liegt auf der Kante

[A_{3} A_{4}]

. Untersuchen Sie rechnerisch, ob es Punkte auf der Kante

[B_{3} B_{4}]

gibt, für die gilt: Die Verbindungsstrecken des Punktes zu den Punkten

B_{1}

und

T

stehen aufeinander senkrecht. Geben Sie gegebenenfalls die Koordinaten dieser Punkte an.

Lösung zu Teilaufgabe Teil B c

Geradengleichung aufstellen

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Richtungsvektor der Geraden

B_{3} B_{4}

\vec{v} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Geradengleichung

Eine Gerade

g

ist durch einen Ortsvektor

\vec{P}

und einen Richtungsvektor

\vec{v}

eindeutig bestimmt:

g : \vec{X} = \vec{P} + μ \cdot \vec{v}

μ \in ℝ

Wenn

B_{4}

als Aufpunkt genommen wird, dann ist

\vec{B_{4}}

der Ortsvektor (des Aufpunkts) der Geraden

B_{3} B_{4}

B_{3} B_{4} : \vec{X} = \underset{\vec{B_{4}}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 0 \\ 10 \\ 4 \end{matrix})}} + μ \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

\Rightarrow

S (μ | 10 | 4)

allgemeiner Punkt auf der Kante

[B_{3} B_{4}]

(mit

μ \in [0; 20]

)

Lagebeziehung von Vektoren

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

\vec{B_{1} S} = \vec{S} - \vec{B_{1}} = (\begin{matrix} μ \\ 10 \\ 4 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 6 \end{matrix}) = (\begin{matrix} μ \\ 10 \\ - 2 \end{matrix})

\vec{T S} = \vec{S} - \vec{T} = (\begin{matrix} μ \\ 10 \\ 4 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 7 \\ 10 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} μ - 7 \\ 0 \\ 4 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt zweier Vektoren

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

und

\vec{b} = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix})

ergibt sich aus der Summe der Produkte der Komponenten der Vektoren.

\vec{a} \circ \vec{b} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) = a_{1} \cdot b_{1} + a_{2} \cdot b_{2} + a_{3} \cdot b_{3}

\vec{B_{1} S} \circ \vec{T S} = (\begin{matrix} μ \\ 10 \\ - 2 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} μ - 7 \\ 0 \\ 4 \end{matrix}) = μ \cdot (μ - 7) - 8 = μ^{2} - 7 μ - 8

Schritt einblenden / ausblenden

\vec{B_{1} S} \circ \vec{T S} = 0

\Leftrightarrow

μ^{2} - 7 μ - 8 = 0

\Leftrightarrow

(μ + 1) \cdot (μ - 8) = 0

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Damit der Punkt

S (μ | 10 | 4)

auf der Kante

[B_{3} B_{4}]

liegt, gilt für

μ

μ \in [0; 20]

.
Der Wert

μ = - 1

muss also ausgeschlossen werden.

\Rightarrow

μ = 8

Schritt einblenden / ausblenden

Einsetzen

μ = 8

wird in

S (μ | 10 | 4)

eingesetzt.

\Rightarrow

S (8 | 10 | 4)

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Lösungen zu:

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Teilaufgabe Teil A b

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Teilaufgabe Teil B b

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Teilaufgabe Teil B e

Teilaufgabe Teil B f

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Themen dieser Aufgabe:

Geradengleichung aufstellen

Lagebeziehung von Vektoren

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