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Abitur 2020 Mathematik Analytische Geometrie V

Die Strecke [ PQ ] mit den Endpunkten P ( 8 | - 5 | 1 ) und Q ist Durchmesser einer Kugel mit Mittelpunkt M ( 5 | - 1 | 1 ) .
Berechnen Sie die Koordinaten von Q und weisen Sie nach, dass der Punkt R ( 9 | - 1 | 4 ) auf der Kugel liegt.

Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass das Dreieck P Q R bei R rechtwinklig ist.

Die Abbildung 1 zeigt modellhaft eine Mehrzweckhalle, die auf einer horizontalen Fläche steht und die Form eines geraden Prismas hat.

Die Punkte A 1 ( 0 | 0 | 0 ) , A 2 ( 20 | 0 | 0 ) , A 3 und A 4 ( 0 | 10 | 0 ) stellen im Modell die Eckpunkte der Grundfläche der Mehrzweckhalle dar, die Punkte B 1 , B 2 , B 3 und B 4 die Eckpunkte der Dachfläche. Diejenige Seitenwand, die im Modell in der x 1 x 3 -Ebene liegt, ist 6 m hoch, die ihr gegenüberliegende Wand nur 4 m.
Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 1 m, d. h. die Mehrzweckhalle ist 20 m lang.
Geben Sie die Koordinaten der Punkte B 2 , B 3 und B 4 an und bestätigen Sie, dass diese Punkte in der Ebene E : x 2 + 5 x 3 - 30 = 0 liegen.

Berechnen Sie die Größe des Neigungswinkels der Dachfläche gegenüber der Horizontalen.

Der Punkt T ( 7 | 10 | 0 ) liegt auf der Kante [ A 3 A 4 ] . Untersuchen Sie rechnerisch, ob es Punkte auf der Kante [ B 3 B 4 ] gibt, für die gilt: Die Verbindungsstrecken des Punktes zu den Punkten B 1 und T stehen aufeinander senkrecht. Geben Sie gegebenenfalls die Koordinaten dieser Punkte an.

Der Punkt L , der vertikal über dem Mittelpunkt der Kante [ A 1 A 2 ] liegt, veranschaulicht im Modell die Position einer Flutlichtanlage, die 12 m über der Grundfläche angebracht ist. Die als punktförmig angenommene Lichtquelle beleuchtet – mit Ausnahme des Schattenbereichs in der Nähe der Hallenwände – das gesamte Gelände um die Halle.
Die Punkte L , B 2 und B 3 legen eine Ebene F fest. Ermitteln Sie eine Gleichung von F in Normalenform.

(zur Kontrolle: F : 3 x 1 + x 2 + 5 x 3 - 90 = 0 )

Die Ebene F schneidet die x 1 x 2 -Ebene in der Gerade g . Bestimmen Sie eine Gleichung von g .

(zur Kontrolle: g : X → = ( 30 0 0 ) + λ ⋅ ( 1 - 3 0 ) , λ ∈ ℝ )

Die Abbildung 2 zeigt den Grundriss des Hallenmodells in der x 1 x 2 -Ebene. Stellen Sie unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse den Schattenbereich der Flutlichtanlage in der Abbildung exakt dar.


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