Lösung Abitur Bayern 2017 Mathematik Stochastik III

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B 1b (7 BE)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse.

A

: "Das fünfte ausgewählte Auto ist das erste mit ESP."

B

: "Die Zufallsgröße

X

nimmt einen Wert an, der von ihrem Erwartungswert höchstens um eine Standardabweichung abweicht."

Lösung zu Teilaufgabe Teil B 1b

Binomialverteilung

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E

: "Auto mit ESP"

\bar{E}

: "Auto ohne ESP"

p = P (E) = 0, 4

q = P (\bar{E}) = 1 - 0, 4 = 0, 6

P (A) = 0, 6^{4} \cdot 0, 4 = 0, 05184 \approx 5, 2 %

Erwartungswert und Standardabweichung

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Erwartungswert

μ

und Standardabweichung

σ

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße

Standardabweichung einer Zufallsgröße

Ist

X

binomialverteilt, dann gilt:

Erwartungswert von

X

μ = n \cdot p

Standardabweichung (Streuung) von

X

σ = \sqrt{n \cdot p \cdot q}

μ = n \cdot p = 200 \cdot 0, 4 = 80

σ = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{80 \cdot 0, 6} \approx 6, 93

Wahrscheinlichkeit

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Bereich der geforderten Abweichung bestimmen:

[μ - σ; μ + σ]

μ - σ = 80 - 6, 93 = 73, 07

μ + σ = 80 + 6, 93 = 86, 93

Wahrscheinlichkeit bestimmen:

P (B) = P_{0, 4}^{200} (73, 07 \leq X \leq 86, 93)

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Da es nur ganze Autos geben kann, muss der Bereich auf ganze Zahlen gerundet werden.

X

soll höchstens um eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweichen. Also muss

X

größer 74 und kleiner 86 sein.
(

73 \leq X \leq 87

wäre falsch.)

P (B) = P_{0, 4}^{200} (74 \leq X \leq 86)

Schritt einblenden / ausblenden

Bernoulli-Formel

Wenn die Zufallsvariable

X

zwischen zwei Zahlen

a

und

b

liegen soll, dann gilt:

P (a \leq X \leq b) = P (X \leq b) - P (X \leq a - 1)

"Obere Grenze minus die um 1 verkleinerte untere Grenze"

P (B) = P_{0, 4}^{200} (X \leq 86) - P_{0, 4}^{200} (X \leq 73) \overset{TW}{=} 0, 82607 - 0, 17423 = 0, 65184

P (B) \approx 65, 2 %

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Themen dieser Aufgabe:

Binomialverteilung

Erwartungswert und Standardabweichung

Wahrscheinlichkeit

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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