Lösung Abitur Bayern 2017 Mathematik Stochastik III

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil A 2 (3 BE)

In der Abbildung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße

X

mit der Wertemenge

{0; 1; 2; 3; 4}

und dem Erwartungswert 2 dargestellt. Weisen Sie nach, dass es sich dabei nicht um eine Binomialverteilung handeln kann.

Lösung zu Teilaufgabe Teil A 2

Wahrscheinlichkeitsverteilung

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Gegeben:

E (X) = 2

Schritt einblenden / ausblenden

Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße

Ist

X

binomialverteilt, dann gilt :

Erwartungswert von

X

μ = n \cdot p

E (X) = n \cdot p

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Als

n

wird der größte vorkommende Wert aus der Wahrscheinlichkeitsverteilung genommen.

E (X) = 4 \cdot p

2 = 4 \cdot p

\Rightarrow

p = 0, 5

Bei einer Binomialverteilung müsste also

p = 0, 5

Schritt einblenden / ausblenden

Bernoulli-Formel

Die Wahrscheinlichkeit genau

k

Treffer bei

n

Versuchen zu erzielen beträgt:

P (k Treffer) = P_{p}^{n} (X = k) = (\binom{n}{k}) \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k}

Dabei ist:

n =

Anzahl der Versuche

k =

Anzahl der Treffer

p =

Wahrscheinlichkeit eines Treffers pro Versuch

1 - p =

Wahrscheinlichkeit einer Niete pro Versuch

P_{0, 5}^{4} (X = 2) = (\binom{4}{2}) \cdot 0, 5^{2} \cdot 0, 5^{2} = 0, 375

Schritt einblenden / ausblenden

In der Zeichnung ist der Wert für

P (X = 2)

aber größer, sodass es sich nicht um eine Binomialverteilung handeln kann.

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Wahrscheinlichkeitsverteilung

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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