Lösung Abitur Bayern 2015 Mathematik Stochastik III

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B 1b (3 BE)

Zeigen Sie, dass für den Erwartungswert

E (X)

der Zufallsgröße

X

gilt:

E (X) = 9 p^{2} + 12 p + 4 .

Lösung zu Teilaufgabe Teil B 1b

Erwartungswert einer Zufallsgröße

Tabelle der Wahrscheinlichkeitsverteilung erstellen:

Schritt einblenden / ausblenden

Wahrscheinlichkeit

Mit dem Baumdiagramm aus Teil B Teilaufgabe 1a können die einzelnen Wahrscheinlichkeiten bestimmt werden:

P (X = 4) = (1 - p) (1 - p) = (1 - p)^{2}

P (X = 10) = 2 p - 2 p^{2}

(s. Teil B Teilaufgabe 1a)

P (X = 25) = p \cdot p = p^{2}

Erwartungswert

E (X)

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Erwartungswert einer Zufallsgröße

Der Erwartungswert einer Zufallsgröße

X

bei

n

Versuchen (hier 3), ist definiert als:

E_{n} (X) = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot P (X = x_{i})

In diesem Fall:

E (X) = \sum_{i = 1}^{3} x_{i} \cdot P (X = x_{i})

E (X) = 4 \cdot (1 - p)^{2} + 10 \cdot (2 p - 2 p^{2}) + 25 \cdot p^{2}

E (X) = 4 - 8 p + 4 p^{2} + 20 p - 20 p^{2} + 25 p^{2}

E (X) = 9 p^{2} + 12 p + 4

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Erwartungswert einer Zufallsgröße

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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