Lösung Abitur Bayern 2012 Mathematik T Infinitesimalrechnung A I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1.7 (7 BE)

Berechnen Sie die Koordinaten der Wendepunkte des Graphen von

f

Lösung zu Teilaufgabe 1.7

Wendepunkt ermitteln

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f (x) = \ln \frac{- 2 x^{2}}{x^{2} - 4}

f^{'} (x) = \frac{- 8}{x^{3} - 4 x}

Zweite Ableitung bilden:

Schritt einblenden / ausblenden

Quotientenregel der Differenzialrechnung

f (x) = \frac{u (x)}{v (x)}

\Rightarrow

f^{'} (x) = \frac{u^{'} (x) \cdot v (x) - u (x) \cdot v^{'} (x)}{{[v (x)]}^{2}}

Hier ist

u (x) = - 8

und

v (x) = x^{3} - 4 x

.
Dann ist

u^{'} (x) = 0

und

v^{'} (x) = 3 x^{2} - 4

f^{''} (x) = \frac{0 \cdot (x^{3} - 4 x) - (- 8) \cdot (3 x^{2} - 4)}{{(x^{3} - 4 x)}^{2}}

= \frac{8 (3 x^{2} - 4)}{{(x^{3} - 4 x)}^{2}}

Schritt einblenden / ausblenden

Wendepunkt ermitteln

Wendepunkte sind Punkte eines Funktionsgraphen, an denen sich die Krümmungsrichtung ändert. Die 2. Ableitung hat an solchen Stellen einen Vorzeichenwechsel, sie ist also zum Beispiel links des Wendepunkts positiv und rechts davon negativ. An der Wendestelle

x_{W}

selbst ist die 2. Ableitung Null.

f^{''} (x_{W}) = 0

Um den Vorzeichenwechsel von

f^{''}

jedoch garantieren zu können, ist eine zusätzliche Bedingung notwendig. An Wendepunkten ist die 3. Ableitung stets von Null verschieden.

f^{'''} (x_{W}) \neq 0

f^{''} (x) = 0

\frac{8 (3 x^{2} - 4)}{{(x^{3} - 4 x)}^{2}} = 0

Schritt einblenden / ausblenden

8 (3 x^{2} - 4) = 0

3 x^{2} - 4 = 0

x^{2} = \frac{4}{3}

x_{1}^{W} = \sqrt{\frac{4}{3}}

x_{2}^{W} = - \sqrt{\frac{4}{3}}

Untersuchen, ob an den Stellen

x_{1}^{W} = \sqrt{\frac{4}{3}}

und

x_{2}^{W} = - \sqrt{\frac{4}{3}}

Vorzeichenwechsel in der zweiten Ableitung vorliegen:

f^{''} (x) > 0

\frac{8 (3 x^{2} - 4)}{{(x^{3} - 4 x)}^{2}} > 0

Schritt einblenden / ausblenden

Vorzeichen eines Bruches

Die zweite Ableitung ist ein Bruch.

Ein Bruch ist positiv wenn Zähler und Nenner entweder beide positiv oder beide negativ sind (z.B.

\frac{3}{5} > 0

oder

\frac{- 3}{- 5} > 0

).

Ein Bruch ist negativ wenn Zähler und Nenner verschiedenes Vorzeichen haben (z.B.

\frac{- 3}{5} < 0

oder

\frac{3}{- 5} < 0

)

Da

{(x^{3} - 4 x)}^{2} > 0

genügt es den Fall "Zähler und Nenner positiv" zu betrachten.

8 (3 x^{2} - 4) > 0

3 x^{2} - 4 > 0

3 x^{2} - 4

kann als nach oben geöffnete Parabel angesehen werden mit Nullstellen bei

\sqrt{\frac{4}{3}}

und

- \sqrt{\frac{4}{3}}

An beiden Nullstellen finden Vorzeichenwechsel statt.

\Rightarrow

f

hat Wendestellen bei

x_{1}^{W} = \sqrt{\frac{4}{3}}

und

x_{2}^{W} = - \sqrt{\frac{4}{3}}

x_{1}^{W} = \sqrt{\frac{4}{3}}

und

x_{2}^{W} = - \sqrt{\frac{4}{3}}

sind gleichzeitig Nullstellen von

f

(siehe Aufgabe 1.3)

\Rightarrow

Wendepunkt

W P_{1} (\sqrt{\frac{4}{3}} | 0)

\Rightarrow

Wendepunkt

W P_{2} (- \sqrt{\frac{4}{3}} | 0)

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Wendepunkt ermitteln

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