Abitur 2012 Mathematik T Infinitesimalrechnung A I

Gegeben ist die reelle Funktion

f : x \mapsto \ln \frac{- 2 x^{2}}{x^{2} - 4}

in der maximalen Definitionsmenge

D_{f}

Teilaufgabe 1.1 (6 BE)

Zeigen Sie, dass gilt:

D_{f} =] - 2; 0 [

\cup

] 0; 2 [

Teilaufgabe 1.2 (3 BE)

Untersuchen Sie den Graphen von

f

auf Symmetrie bezüglich des Koordinatensystems.

Teilaufgabe 1.3 (4 BE)

Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion

f

Teilaufgabe 1.4 (5 BE)

Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte

f (x)

für

x \to 0

, für

x \to - 2

und für

x \to 2

Teilaufgabe 1.5 (4 BE)

Geben Sie die Wertemenge der Funktion

f

sowie die Art und die Gleichungen der Asymptoten des Graphen von

f

an.

Teilaufgabe 1.6 (7 BE)

Bestimmen Sie die maximalen Monotonieintervalle des Graphen von

f

Teilaufgabe 1.7 (7 BE)

Berechnen Sie die Koordinaten der Wendepunkte des Graphen von

f

Teilaufgabe 1.8 (4 BE)

Zeichnen Sie mithilfe Ihrer Ergebnisse den Graphen von

f

mit seinen Asymptoten in ein kartesisches Koordinatensystem.
Maßstab:

1 LE = 1 cm

Teilaufgabe 1.9 (9 BE)

Gegeben sei nun die Funktion

F : x \mapsto 2 \cdot \ln (2 - x) - 2 \cdot \ln (2 + x) + x \cdot \ln \frac{- 2 x^{2}}{x^{2} - 4}

mit der maximalen Definitionsmenge

D_{F} = D_{f}

. Zeigen Sie, dass die Funktion

F

eine Stammfunktion von

f

ist. Markieren Sie das von der

x

-Achse, der Geraden mit der Gleichung

x = 0, 5

und dem Graphen von

f

eingeschlossene, endliche Flächenstück im Schaubild der Aufgabe 1.8 und berechnen Sie seine Flächenmaßzahl

A

. Runden Sie das Ergebnis auf drei Nachkommastellen.

Die Halbwertszeit

T_{A}

eines radioaktiven Elements

A

, also die Zeit, nach der die Hälfte der zur Zeit

t = 0

vorhandenen

N_{A_{0}} = 1, 75 \cdot 10^{16}

Atome zerfallen ist, beträgt

134 s

. Für die Anzahl

N_{A} (t)

der zur Zeit

t

nicht zerfallenen Atome gilt das Zerfallsgesetz:

N_{A} (t) = N_{A_{0}} \cdot e^{- \frac{\ln 2}{T_{A}} \cdot t}

Teilaufgabe 2.1 (5 BE)

Berechnen Sie die sog. "mittlere Lebensdauer"

τ

, d.h. die Zeit

τ

, für die gilt:

N_{A} (τ) = \frac{N_{A_{0}}}{e}

Teilaufgabe 2.2 (3 BE)

Zeigen Sie ausgehend vom Zerfallsgesetz, dass folgende Beziehung gilt:

\frac{{\overset{\cdot}{N}}_{A} (t)}{N_{A} (t)} = - \frac{\ln 2}{T_{A}}

{\overset{\cdot}{N}}_{A} (t)

bedeutet dabei die Ableitung von

N_{A} (t)

nach der Zeit

t

Für ein Stoffgemisch zweier radioaktiver Elemente

B

und

C

mit den Halbwertszeiten

T_{B}

bzw.

T_{C}

gelten die folgenden Beziehungen:

$N_{B C} (t) = N_{B} (t) + N_{C} (t)$

Zur Zeit $t = 0$ ist die Anzahl $N_{C_{0}}$ der vorhandenen Atome des Elements $C$ doppelt so groß wie die Anzahl $N_{B_{0}}$ der vorhandenen Atome des Elements $B$ .

Die Halbwertszeit des Elements $B$ ist nur halb so groß wie die des Elements $C$ .

Beim Zerfall des Elements $B$ entsteht nicht das Element $C$ und beim Zerfall des Elements $C$ entsteht auch nicht das Element $B$ .

Teilaufgabe 2.3.1 (6 BE)

Zeigen Sie, dass für den Zeitpunkt

t^{*}

mit

N_{B C} (t^{*}) = \frac{1}{2} \cdot N_{B C} (0)

folgende Gleichung gilt:

e^{- \frac{\ln 2}{T_{C}} \cdot t^{*} \cdot 2} + 2 \cdot e^{- \frac{\ln 2}{T_{C}} \cdot t^{*}} = 1, 5

Teilaufgabe 2.3.2 (7 BE)

Berechnen Sie den Wert

\frac{t^{*}}{T_{C}}

auf zwei Nachkommastellen genau.

[Hinweis: Benutzen Sie die Substitution

u = e^{- \frac{\ln 2}{T_{C}} \cdot t^{*}}

]

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1.1

Teilaufgabe 1.2

Teilaufgabe 1.3

Teilaufgabe 1.4

Teilaufgabe 1.5

Teilaufgabe 1.6

Teilaufgabe 1.7

Teilaufgabe 1.8

Teilaufgabe 1.9

Teilaufgabe 2.1

Teilaufgabe 2.2

Teilaufgabe 2.3.1

Teilaufgabe 2.3.2

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