Lösung Abitur Bayern 2012 Mathematik Stochastik IV

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2 (5 BE)

Ein Jahr später möchte die Tageszeitung ermitteln, ob sich durch die Verfilmung der Anteil

p

der Jugendlichen, die den Roman gelesen haben, wesentlich erhöht hat. Die Nullhypothese

H_{0} : p \leq 0, 15

soll mithilfe einer Stichprobe von 100 Jugendlichen auf einem Signifikanzniveau von

10 %

getestet werden. Bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel.

Lösung zu Teilaufgabe 2

Hypothesentest - Fehler erster Art

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Text analysieren und Daten herauslesen:

Nullhypothese:

H_{0} : p \leq 0, 15

Stichprobenumgang:

n = 100

Signifikanzniveau:

α = 10 %

Annahmebereich von

H_{0}

A = [0, k]

Ablehnungsbereich von

H_{0}

\bar{A} = [k + 1, 100]

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Nullhypothese

Die Nullhypothese

H_{0} : p \leq 0, 15

bedeutet, dass höchstens

15 %

der Jugendlichen den Roman gelesen haben. Somit liegt der Annahmebereich links und der Ablehnungsbereich rechts.

Fehler 1.Art bestimmen:

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Fehler 1.Art

Man spricht von "Fehler 1. Art" wenn, die Nullhypothese fälschlicherweise abgelehnt wird.

Das ist der Fall wenn

H_{0}

wahr ist, man sich aber gegen

H_{0}

entscheidet, da das Stichprobenergebnis zufällig im Ablehnungsbereich liegt (

Z \geq k + 1

\Rightarrow

Fehler erster Art:

P_{0, 15}^{100} (Z \geq k + 1) \leq 0, 1

P_{0, 15}^{100} (Z \geq k + 1) \leq 0, 1

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Gegenereignis

Betrachtung des Gegenereignisses:

P(mindestens k+1 Treffer) = 1 - P(höchstens k Treffer)

In mathematischen Zeichen:

P (Z \geq k + 1) = 1 - P (Z \leq k)

1 - P_{0, 15}^{100} (Z \leq k) \leq 0, 1

|

- 1

- P_{0, 15}^{100} (Z \leq k) \leq - 0, 9

|

\cdot (- 1)

(da die Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert wird, ändert sich das Relationszeichen)

P_{0, 15}^{100} (Z \leq k) \geq 0, 9

Aus dem Tafelwerk ablesen:

k = 20

\Rightarrow

Z = 21

wird die Nullhypothese agbgelehnt

Entscheidungsregel:

Ablehnungsbereich

\bar{A} = {21, 22, \dots, 100}

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Lösungen zu:

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Themen dieser Aufgabe:

Hypothesentest - Fehler erster Art

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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