Lösung Abitur Bayern 2012 Mathematik Stochastik IV

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1a (5 BE)

Nachdem die Verfilmung eines bekannten Romans erfolgreich in den Kinos gezeigt wurde, veröffentlicht eine Tageszeitung das Ergebnis einer repräsentativen Umfrage unter Jugendlichen. Der Umfrage zufolge hatten

88 %

der befragten Jugendlichen den Roman zum Zeitpunkt des Kinostarts noch nicht gelesen,

18 %

sahen die Verfilmung. Von den Befragten, die laut Umfrage den Roman zum Zeitpunkt des Kinostarts bereits gelesen hatten, gaben

60 %

an, die Verfilmung gesehen zu haben.

Betrachtet werden folgende Ereignisse:

R

: "Eine aus den Befragten zufällig ausgewählte Person hatte laut Umfrage den Roman zum Zeitpunkt des Kinostarts bereits gelesen."

V

: "Eine aus den Befragten zufällig ausgewählte Person sah laut Umfrage die Verfilmung."

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine aus den Befragten zufällig ausgewählte Person, die laut Umfrage den Roman zum Zeitpunkt des Kinostarts noch nicht gelesen hatte, angab, die Verfilmung gesehen zu haben.

Lösung zu Teilaufgabe 1a

Bedingte Wahrscheinlichkeit

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Ereignisse:

R

: "Eine aus den Befragten zufällig ausgewählte Person hatte laut Umfrage den Roman zum Zeitpunkt des Kinostarts bereits gelesen."

V

: "Eine aus den Befragten zufällig ausgewählte Person sah laut Umfrage die Verfilmung."

Aus der Einleitung:

"... hatten

88 %

der befragten Jugendlichen den Roman zum Zeitpunkt des Kinostarts noch nicht gelesen..."

\Rightarrow P (\bar{R}) = 0, 88

\Rightarrow P (R) = 1 - 0, 88 = 0, 12

"...

18 %

sahen die Verfilmung."

\Rightarrow P (V) = 0, 18

\Rightarrow P (\bar{V}) = 1 - 0, 18 = 0, 82

"Von den Befragten, die laut Umfrage den Roman zum Zeitpunkt des Kinostarts bereits gelesen hatten, gaben

60 %

an, die Verfilmung gesehen zu haben."

Schritt einblenden / ausblenden

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Unter

P_{R} (V)

versteht man die bedingte Wahrscheinlichkeit für das Ereignis

V

unter der Bedingung des Ereignisses

R

.

D.h. man betrachtet nicht den gesamten Ergebnisraum, sondern nur die Teilmenge des Ereignisses

R

.
Die bedingte Wahrscheinlichkeit

P_{R} (V)

ist also die Wahrscheinlichkeit für

V

, wenn man nur

R

betrachtet.

Die Bedingung lautet hier:
"... die laut Umfrage den Roman zum Zeitpunkt des Kinostarts bereits gelesen hatten ...".

\Rightarrow P_{R} (V) = 0, 6

Schritt einblenden / ausblenden

Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit

P_{R} (V) = \frac{P (R \cap V)}{P (R)}

Auflösen nach

P (R \cap V)

P (R \cap V) = P (R) \cdot P_{R} (V)

P (R \cap V) = P (R) \cdot P_{R} (V)

P (R \cap V) = 0, 12 \cdot 0, 6

\Rightarrow P (R \cap V) = 0, 072

\Rightarrow P (\bar{R} \cap V) = 0, 18 - 0, 072 = 0, 108

Schritt einblenden / ausblenden

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Die Aufgabenstellung lautet:

"Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine aus den Befragten zufällig ausgewählte Person, die laut Umfrage den Roman zum Zeitpunkt des Kinostarts noch nicht gelesen hatte (

\bar{R}

), angab, die Verfilmung gesehen zu haben (

V

)."

Unter

P_{\bar{R}} (V)

versteht man die bedingte Wahrscheinlichkeit für das Ereignis

V

unter der Bedingung des Ereignisses

\bar{R}

.

D.h. man betrachtet nicht den gesamten Ergebnisraum, sondern nur die Teilmenge des Ereignisses

\bar{R}

.
Die bedingte Wahrscheinlichkeit

P_{\bar{R}} (V)

ist also die Wahrscheinlichkeit für

V

, wenn man nur

\bar{R}

betrachtet.

Gesucht ist

P_{\bar{R}} (V)

Schritt einblenden / ausblenden

Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit

P_{A} (B) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)}

P_{\bar{R}} (V) = \frac{P (\bar{R} \cap V)}{P (\bar{R})} = \frac{0, 108}{0, 88} \approx 12, 3 %

Alternative Lösung

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Alternative Berechnung über ein Baumdiagramm.

Gesucht ist

P_{\bar{R}} (V) = x

P (V) = P (R \cap V) + P (\bar{R} \cap V)

0, 18 = 0, 12 \cdot 0, 6 + 0, 88 \cdot x

\Rightarrow

x = \frac{0, 18 - 0, 12 \cdot 0, 6}{0, 88} \approx 12, 3 %

Alle Abituraufgaben

Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 2

Teilaufgabe 3

Teilaufgabe 4a

Teilaufgabe 4b

Teilaufgabe 4c

Lösung als Video:

Lösung als Video

Themen dieser Aufgabe:

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Alternative Lösung

Themen-Übersicht

Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

Feedback:

Du hast einen Fehler gefunden oder hast Anregungen zur Internetseite?

Teile uns Dein Feedback mit!