Lösung Abitur Bayern 2011 G9 Abitur Mathematik GK Stochastik III

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 4b (5 BE)

Da der Fan möglichst vermeiden will, sich aufgrund seines Testergebnisses irrtümlich über einen Erfolg von München Motel zu freuen, soll die Wahrscheinlichkeit dafür höchstens

10 %

betragen. Bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel unter der Annahme, dass die Befragung geeignet ist, die Vermutung des Fans zu testen. Die Wahrscheinlichkeit, irrtümlich Bavarian King als Sieger vorherzusagen, soll möglichst klein sein.

Lösung zu Teilaufgabe 4b

Hypothesentest - Fehler erster Art

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Nullhypothese

Der Fan vermutet zwar, dass die Band München Motel gewinnt, möchte jedoch eine Fehlentscheidung vermeiden mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens

10 %

.

Fehlentscheidung bedeutet in diesem Fall, dass die Band München Motel verliert und der Fan sich ("irrtümlich") geirrt hat.

Die Nullhypothese sei also das Verlieren der Band München Motel. Aus der Graphik in der Einleitung zur Teilaufgabe 4 entnimmt man:

p_{0} = 40 %

Nullhypothese:

H_{0} : p_{0} = 40 % = 0, 4

Stichprobenumgang:

n = 25

Signifikanzniveau:

α = 10 %

Annahmebereich von

H_{0}

A = [0; k]

Ablehnungsbereich von

H_{0}

\bar{A} = [k + 1; 25]

Fehler 1. Art bestimmen:

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Fehler 1.Art

Man spricht von "Fehler 1. Art" wenn die Nullhypothese fälschlicherweise abgelehnt wird.

Das ist der Fall wenn

H_{0}

wahr ist, sich aber gegen

H_{0}

entscheidet, da das Stichprobenergebnis zufällig im Ablehnungsbereich liegt (

Z \geq k + 1

)

\Rightarrow

Fehler erster Art:

P_{0, 4}^{25} (Z \geq k + 1) \leq 0, 1

P_{0, 4}^{25} (Z \geq k + 1) \leq 0, 1

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Gegenereignis

Betrachtung des Gegenereignisses:

P(mindestens k+1 Treffer) = 1 - P(höchstens k Treffer)

In mathematischen Zeichen:

P (Z \geq k + 1) = 1 - P (Z \leq k)

1 - P_{0, 4}^{25} (Z \leq k) \leq 0, 1

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Rechenweg

1 - P_{0, 4}^{25} (Z \leq k) \leq 0, 1

|

- 1

- P_{0, 4}^{25} (Z \leq k) \leq - 0, 9

|

\cdot (- 1)

P_{0, 4}^{25} (Z \leq k)

$\geq$

0, 9

Wichtig: Das Relationszeichen dreht sich um, wenn eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert wird.

P_{0, 4}^{25} (Z \leq k) \geq 0, 9

Aus dem Tafelwerk ablesen:

k = 13

\Rightarrow

Z = 14

wird die Nullhypothese abgelehnt.

Entscheidungsregel:

Es muss mindestens 14 Nennungen der Band München Motel geben, damit diese Band als Sieger vorhergesagt wird.

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Teilaufgabe 4b

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Themen dieser Aufgabe:

Hypothesentest - Fehler erster Art

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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