Lösung Abitur Bayern 2011 G9 Abitur Mathematik GK Stochastik III

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1c (9 BE)

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse.

A

: "Die beiden bayerischen Bands treten vor der Pause auf."

B

: "Die beiden bayerischen Bands treten vor der Pause direkt nacheinander auf."

C

: "Deutsch und englisch singende Bands treten abwechselnd auf."

Lösung zu Teilaufgabe 1c

Ziehen ohne Reihenfolge ohne Zurücklegen

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A

: "Die beiden bayerischen Bands treten vor der Pause auf"

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Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

Es handelt sich hier um Ziehen ohne Reihenfolge (an welcher Stelle eine Band vor der Pause spielt ist irrelevant) und ohne Zurücklegen (eine Band spielt nur einmal).

Stichwort: "Lottoprinzip" bzw. hypergeometrische Verteilung:

P (X) = \frac{Anzahl Treffer \cdot Anzahl Nieten}{| Ω |}

2 bayerische Bands treten vor der Pause auf:

\Rightarrow | Treffer | = (\binom{2}{2})

4 (aus insgesamt 10) weitere Bands treten vor der Pause auch auch auf:

\Rightarrow | Nieten | = (\binom{10}{4})

6 Bands werden aus 12 gezogen:

\Rightarrow | Ω | = (\binom{12}{6})

Merkhilfe zur Kontrolle:

P (A) = \frac{(\binom{2}{2}) \cdot (\binom{10}{4})}{(\binom{12}{6})} = \frac{5}{22} \approx 22, 7 %

Alternative Lösung

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Erläuterung

Es gibt

6

Möglichkeiten die erste bayerische Band auf den ersten 6 Startplätzen zu platzieren. Ist dieser Startplatz besetzt, so bleiben

5

Möglichkeiten für die zweite bayerische Band. Für die restlichen 10 Bands gibt es dann

10!

mögliche Anordnungen.

Insgesamt gibt es

12!

Möglichkeiten für die Reihenfolge der Auftritte (siehe Teilaufgabe 1a).

P (A) = \frac{6 \cdot 5 \cdot 10!}{12!} \approx 22, 7 %

Wahrscheinlichkeit

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B :

"Die beiden bayerischen Bands treten vor der Pause direkt nacheinander auf."

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Erläuterung

Die beiden bayerischen Bands treten nacheinander auf, also gibt es

2!

mögliche Reihenfolgen (erst B1, dann B2 oder umgekehrt). Der Block, den die bayerischen Bands bilden, kann 5 mal unter den ersten 6 Startplätzen durchgeschoben werden. Für die restlichen 10 Bands gibt es dann

10!

mögliche Anordnungen.

Insgesamt gibt es

12!

Möglichkeiten für die Reihenfolge der Auftritte (siehe Teilaufgabe 1a).

| B | = 2! \cdot 5 \cdot 10!

\Rightarrow

P (B) = \frac{2! \cdot 5 \cdot 10!}{12!} = \frac{5}{66} \approx 7, 6 %

Alternative Lösung

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Laplace-Wahrscheinlichkeit

Für die Laplace-Wahrscheinlichkeit (jede Band wird mit derselben Wahrscheinlichkeit gelost) gilt:

P (B) = \frac{| B |}{| Ω |} \begin{matrix} \leftarrow & günstige Fälle \\ \leftarrow & mögliche Fälle \end{matrix}

Günstige Fälle:
Vor der Pause nacheinander Auftreten können die beiden bayerischen Bands im Falle, dass sie für die 1. und 2. Stelle oder 2. und 3. Stelle oder 3. und 4. Stelle oder 4. und 5. Stelle oder auch für die 5. und 6. Stelle ausgelost werden. Das sind 5 günstige Fälle.

\Rightarrow | B | = 5

Mögliche Fälle:
Da nur danach unterschieden wird, ob eine Band aus Bayern kommt oder nicht, entsprechen die möglichen Fälle der in Teilaufgabe 1b) berechneten Anzahl der Möglichkeiten für die Reihenfolge der Auftritte.

\Rightarrow | Ω | = (\binom{12}{2})

P (B) = \frac{5}{(\binom{12}{2})} \approx 7, 6 %

C :

"Deutsch und englisch singende Bands treten abwechselnd auf. "

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Erläuterung

Es gibt

6!

verschiedene Möglichkeiten die 6 auf deutsch singenden Bands auf ihre Plätze anzuordnen. Gleiches gilt für die 6 auf englisch singenden Bands.
Als Erste kann entweder eine deutsch oder eine englisch singende Band auftreten, also

2

verschiedene Anordnungen.

Anders formuliert:
Es gibt 6 verschiedene Bands die auf dem ersten und zweiten Platz angeordnet werden können (1xD aus 6 und 1xE aus 6 oder umgekehrt), 5 für den dritten und vierten Platz, 4 für den fünften und sechsten Platz, 3 für den siebten und achten Platz, etc...

\Rightarrow

(\underset{1}{\underset{︸}{6}} \cdot \underset{2}{\underset{︸}{6}} \cdot \underset{3}{\underset{︸}{5}} \cdot \underset{4}{\underset{︸}{5}} \cdot \underset{5}{\underset{︸}{4}} \cdot \underset{6}{\underset{︸}{4}} \cdot \underset{7}{\underset{︸}{3}} \cdot \underset{8}{\underset{︸}{3}} \cdot \underset{9}{\underset{︸}{2}} \cdot \underset{10}{\underset{︸}{2}} \cdot \underset{11}{\underset{︸}{1}} \cdot \underset{12}{\underset{︸}{1}}) \cdot 2

Insgesamt gibt es

12!

Möglichkeiten für die Reihenfolge der Auftritte (siehe Teilaufgabe 1a).

| C | = (6! \cdot 6!) \cdot 2

\Rightarrow

P (C) = \frac{6! \cdot 6! \cdot 2}{12!} = \frac{1}{462} \approx 0, 22 %

Alternative Lösung

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Laplace-Wahrscheinlichkeit

Für die Laplace-Wahrscheinlichkeit (jede Band wird mit derselben Wahrscheinlichkeit gelost) gilt:

P (C) = \frac{| C |}{| Ω |} \begin{matrix} \leftarrow & günstige Fälle \\ \leftarrow & mögliche Fälle \end{matrix}

Günstige Fälle:
Es gibt nur 2 güstige Fälle:
DEDED.... oder EDEDE...

\Rightarrow | C | = 2

Mögliche Fälle:
Sie entsprechen, analog zur Teilaufgabe 1b), der Anzahl der Möglichkeiten für die Reihenfolge der Auftritte wenn nur danach unterschieden wird, ob eine Band auf deutsch oder auf englisch singt (jeweils 6 Bands singen in einer Sprache).

\Rightarrow | Ω | = \frac{12!}{6! \cdot 6!} = (\binom{12}{6})

P (C) = \frac{2}{(\binom{12}{6})} \approx 0, 22 %

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

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Teilaufgabe 4a

Teilaufgabe 4b

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Themen dieser Aufgabe:

Ziehen ohne Reihenfolge ohne Zurücklegen

Wahrscheinlichkeit

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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