Lösung Abitur Hessen 2011 Mathematik GK Infinitesimalrechnung Aufgabe A2

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 11 (22 BE)

Die nachträgliche Auswertung der Aufzeichnungen des Höhenbarometers eines Heißluftballons ergab, dass sich die Höhe des Ballons über dem Startpunkt der Ballonfahrt durch die Funktion

h

mit der Gleichnung

h (t) = - 0, 5 t^{3} + 2 t^{2} + t

beschreiben lässt.

t

: Zeit in Stunden

h (t)

: Höhe in 100 Metern
Der Ballon startet zum Zeitpunkt

t = 0

in der Höhe

h = 0

Berechnen Sie die Dauer der Ballonfahrt sowie die größte erreichte Höhe unter der Annahme, dass der Ballon eine ebene Landschaft überfliegt.
Geben Sie einen für den Sachverhalt sinnvollen Definitionsbereich an.

Lösung zu Teilaufgabe 11

Nullstellen einer Funktion

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Die Funktion

h (t) = - 0, 5 t^{3} + 2 t^{2} + t

gibt die Höhe eines Ballons (in

100

Metern) nach

t

Stunden an. Der Ballon startet zum Zeitpunkt

t = 0

in der Höhe

h = 0

. Die Dauer der Fahrt
ergibt sich aus der nächstfolgenden Nullstelle von

h

Schritt einblenden / ausblenden

Nullstellen

Der Ansatz um die Nullstellen (die Schnittpunkte einer Funktion mit der x-Achse) zu bestimmen, lautet stets:

f (x) = 0

Die Gleichung muss anschließend nach

x

aufgelöst werden.

h (t) = - 0, 5 t^{3} + 2 t^{2} + t = 0

- 0, 5 t \cdot (t^{2} - 4 t - 2) = 0

Schritt einblenden / ausblenden

- 0, 5 t = 0

t_{1} = 0

t^{2} - 4 t - 2 = 0

Schritt einblenden / ausblenden

Mitternachtsformel - Lösungsformel für quadratische Gleichungen

Die Lösungen zu einer Gleichung der Form

a x^{2} + b x + c = 0

lauten stets:

x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

t_{2, 3} = 2 \pm \sqrt{4 + 2} = 2 \pm \sqrt{6}

t_{2} \approx 4, 449

t_{3} \approx - 0, 449

Daraus ergibt sich die einzig sinnvolle Dauer der Fahrt von rund

4, 45

Stunden.

Die größtmögliche Höhe liefert der Hochpunkt des Graphen im Intervall

0 \leq t \leq 4, 45

Schritt einblenden / ausblenden

Notwendige Bedingung

Folgende notwendige Bedingung muss für ein Extrempunkt an der Stelle

x^{E}

erfüllt sein:

f^{'} (x^{E}) = 0

daher immer der Ansatz:

f^{'} (x) = 0

Mit

h^{'} (t) = - 1, 5 t^{2} + 4 t + 1

und

h^{''} (t) = - 3 t + 4

folgt:

- 1, 5 t^{2} + 4 t + 1 = 0

t_{4} \approx 2, 897

t_{5} \approx - 0, 230

Für die Lösung

t_{4} \approx 2, 897

ergibt die hinreichende Bedingung

h^{''} (2, 897) \approx - 4, 691 < 0

ein relatives Maximum. Mit

h (2, 897) \approx 7, 526

erhält man die maximale Höhe von

752, 6 m

nach einer Fahrtzeit von

2, 897

Stunden.

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 11

Teilaufgabe 21

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Nullstellen einer Funktion

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