Abitur 2011 Mathematik GK Infinitesimalrechnung Aufgabe A2

Die nachträgliche Auswertung der Aufzeichnungen des Höhenbarometers eines Heißluftballons ergab, dass sich die Höhe des Ballons über dem Startpunkt der Ballonfahrt durch die Funktion

h

mit der Gleichnung

h (t) = - 0, 5 t^{3} + 2 t^{2} + t

beschreiben lässt.

t

: Zeit in Stunden

h (t)

: Höhe in 100 Metern
Der Ballon startet zum Zeitpunkt

t = 0

in der Höhe

h = 0

Teilaufgabe 11 (22 BE)

Berechnen Sie die Dauer der Ballonfahrt sowie die größte erreichte Höhe unter der Annahme, dass der Ballon eine ebene Landschaft überfliegt.
Geben Sie einen für den Sachverhalt sinnvollen Definitionsbereich an.

Teilaufgabe 12

Berechnen Sie den Wendepunkt des Graphen von

h

und deuten Sie diesen im Sachzusammenhang.

Teilaufgabe 13

Skizzieren Sie den Graphen von

h

(Höhenprofil der Ballonfahrt).

Die Ballonhülle eines Heißluftballons wird durch horizontale und vertikale Lastbänder, die in die Hülle eingenäht sind, stabilisiert. Die horizontalen Lastbänder verlaufen wie Fassringe rund um die Hülle. Die vertikalen Lastbänder laufen vom höchsten Punkt des Ballons seitlich herab bis zum runden Brennerrahmen, der oberhalb der Austrittsdüse des Brenners sitzt (siehe Material 1). Am Ballonäquator ist der Umfang des Ballons maximal.

Material 1

Teilaufgabe 21 (18 BE)

Die Funktionen

f_{1}

mit der Gleichung

f_{1} (x) = \frac{1}{2000} \cdot x^{4} - \frac{1}{100} \cdot x^{3} - \frac{1}{1000} \cdot x^{2} + \frac{3}{100} \cdot x - 1

und

f_{2}

mit der Gleichung

f_{2} (x) = - \frac{1}{2000} \cdot x^{4} + \frac{1}{100} \cdot x^{3} + \frac{1}{1000} \cdot x^{2} - \frac{3}{100} \cdot x + 1

stellen den Umriss des Heißluftballons hinreichend genau dar (siehe Material 2).
Ordnen Sie die Graphen in Material 2 den Funktionsgleichungen

f_{1} (x)

und

f_{2} (x)

zu. Begründen Sie ihre Entscheidung.

Material 2

Teilaufgabe 22

Begründen Sie an einem wesentlichen Gesichtspunkt, warum die Graphen von

f_{1} (x)

und

f_{2} (x)

die reale Ballonhülle nicht optimal beschreiben.

Teilaufgabe 23

Bestimmen Sie die Ableitung von

f_{1} (x)

und zeigen Sie, dass auch

f_{1}^{'} (x) = \frac{1}{500} \cdot (x - 1) \cdot (x + 1) \cdot (x - 15)

gilt.

Teilaufgabe 24

Berechnen Sie die Länge des horizontalen Lastbandes am Ballonäquator.

Teilaufgabe 25

Erläutern Sie die Bedeutung der folgenden Gleichung im Sachzusammenhang und beschreiben Sie die zur Berechnung notwendigen Schritte.

π \cdot \int_{1}^{20} {(\frac{1}{2000} \cdot x^{4} - \frac{1}{100} \cdot x^{3} - \frac{1}{1000} \cdot x^{2} + \frac{3}{100} \cdot x - 1)}^{2} d x = 2033, 9

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Teilaufgabe 11

Teilaufgabe 21

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