Lösung Abitur Bayern 2011 G8 Musterabitur Mathematik Stochastik IV

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2a (4 BE)

Man liest gelegentlich, dass eine nach rechts geneigte Handschrift einen Hinweis auf Aufgeschlossenheit darstellt. In einer Abteilung mit

50

Angestellten gelten

35

als aufgeschlossen.

40 %

der als aufgeschlossen geltenden Angestellten haben eine Handschrift, die nicht nach rechts geneigt ist. Weiter ist bei

6

Angestellten, die nicht als aufgeschlossen gelten, die Handschrift nach rechts geneigt.
Die Ereignisse

R

: "Ein zufällig ausgewählter Angestellter hat eine nach rechts geneigte Handschrift" und

A

: "Ein zufällig ausgewählter Angestellter gilt als aufgeschlossen" sollen auf stochastische Abhängigkeit untersucht werden.

Stellen Sie die beschriebene Situation in einem vollständig beschrifteten Baumdiagramm oder in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar.

Lösung zu Teilaufgabe 2a

Bedingte Wahrscheinlichkeit

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Ereignisse:

A

: "Ein zufällig ausgewählter Angestellter gilt als aufgeschlossen"

R

: "Ein zufällig ausgewählter Angestellter hat eine nach rechts geneigte Handschrift"

Aus der Einleitung der Teilaufgabe 2a:

"In einer Abteilung mit 50 Angestellten gelten 35 als aufgeschlossen"

\Rightarrow P (A) = \frac{35}{50}

\Rightarrow P (\bar{A}) = 1 - \frac{35}{50} = \frac{15}{50}

40 %

der als aufgeschlossen geltenden Angestellten haben eine Handschrift, die nicht nach rechts geneigt ist."

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Bedingte Wahrscheinlichkeit

Unter

P_{A} (\bar{R})

versteht man die bedingte Wahrscheinlichkeit für das Ereignis

\bar{R}

unter der Bedingung des Ereignisses

A

.

D.h. man betrachtet nicht den gesamten Ergebnisraum, sondern nur die Teilmenge des Ereignisses

A

.
Die bedingte Wahrscheinlichkeit

P_{A} (\bar{R})

ist also die Wahrscheinlichkeit für

\bar{R}

, wenn man nur

A

betrachtet.

\Rightarrow P_{A} (\bar{R}) = 0, 4

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Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit

P_{A} (\bar{R}) = \frac{P (A \cap \bar{R})}{P (A)}

Auflösen nach

P (A \cap \bar{R})

P (A \cap \bar{R}) = P (A) \cdot P_{A} (\bar{R})

P (A \cap \bar{R}) = P (A) \cdot P_{A} (\bar{R})

P (A \cap \bar{R}) = \frac{35}{50} \cdot 0, 4

\Rightarrow P (A \cap \bar{R}) = \frac{7}{25}

\Rightarrow P (A \cap R) = \frac{35}{50} - \frac{7}{25} = \frac{21}{50}

"Weiter ist bei 6 Angestellten, die nicht als aufgeschlossen gelten, die Handschrift nach rechts geneigt."

\Rightarrow P (\bar{A} \cap R) = \frac{6}{50}

\Rightarrow P (\bar{A} \cap \bar{R}) = \frac{15}{50} - \frac{6}{50} = \frac{9}{50}

P (R) = \frac{21}{50} + \frac{6}{50} = \frac{27}{50}

P (\bar{R}) = \frac{7}{25} + \frac{9}{50} = \frac{23}{50}

Alternative Lösung

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Bei der Variante Baumdiagramm benötigt man die Wahrscheinlichkeiten

P (A)

und

P (\bar{A})

Zu dem werden alle 4 bedingten Wahrscheinlichkeiten benötigt.

Gegeben:

P_{A} (\bar{R}) = 0, 4

\Rightarrow P_{A} (R) = 1 - 0, 4 = 0, 6

Gegeben:

P (\bar{A} \cap R) = \frac{6}{50} = 0, 12

\Rightarrow P_{\bar{A}} (R) = \frac{P (\bar{A} \cap R)}{P (\bar{A})} = \frac{0, 12}{0, 3} = 0, 4

\Rightarrow P_{\bar{A}} (\bar{R}) = 1 - 0, 4 = 0, 6

Die fehlendenden Schnittwahrscheinlichkeiten können dann mit der 1. Pfadregel bestimmt werden.

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1. Pfadregel

1.Pfadregel:

In einem Baumdiagramm ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten längs des zugehörigen Pfades.

Beispiel:

P (A \cap R) = P (A) \cdot P (R) = 0, 7 \cdot 0, 6 = 0, 42

P (R)

ergibt sich als Summe der Schnittwahrscheinlichkeiten

P (A \cap R)

und

P (\bar{A} \cap R)

P (\bar{R})

kann dann über das Gegenereignis berechnet werden.

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Teilaufgabe 3c

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Themen dieser Aufgabe:

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Alternative Lösung

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