Lösung Abitur Bayern 2011 G8 Abitur Mathematik Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1b (6 BE)

Weisen Sie nach, dass der Koordinatenursprung

O

mit den Punkten

A

B

und

C

ein Rechteck

O A B C

festlegt. Bestätigen Sie, dass dieses Rechteck den Flächeninhalt

6000

besitzt, und zeichnen Sie es in ein Koordinatensystem (vgl. Abbildung) ein.

Lösung zu Teilaufgabe 1b

Skalarprodukt

A (0 | 60 | 0)

B (- 80 | 60 | 60)

C (- 80 | 0 | 60)

\vec{A B} = (\begin{matrix} - 80 \\ 0 \\ 60 \end{matrix}) = \vec{O C}

\Rightarrow

O A B C

ist ein Parallelogramm.

Schritt einblenden / ausblenden

\vec{O A} \circ \vec{O C} = (\begin{matrix} 0 \\ 60 \\ 0 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} - 80 \\ 0 \\ 60 \end{matrix}) = 0 + 0 + 0 = 0

\Rightarrow

\vec{O A} ⊥ \vec{O C}

\Rightarrow

O A B C

ist ein Rechteck.

Flächeninhalt eines Rechtecks

A_{O A B C} = | \vec{O A} | \cdot | \vec{O C} |

= | (\begin{matrix} 0 \\ 60 \\ 0 \end{matrix}) | \cdot | (\begin{matrix} - 80 \\ 0 \\ 60 \end{matrix}) | = 60 \cdot | (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) | \cdot 20 \cdot | (\begin{matrix} - 4 \\ 0 \\ 3 \end{matrix}) |

Schritt einblenden / ausblenden

Betrag eines Vektors

Die Länge (bzw. der Betrag)

| \vec{a} |

eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

ist gegeben durch:

| \vec{a} | = | (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) | = \sqrt{{(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}

= 60 \cdot \sqrt{0 + 1 + 0} \cdot 20 \cdot \sqrt{16 + 9}

= 6000

Skizze

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Themen dieser Aufgabe:

Skalarprodukt

Flächeninhalt eines Rechtecks

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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