Lösung Abitur Bayern 2010 Mathematik LK Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2b (6 BE)

Einer der vier im Folgenden abgebildeten Graphen stellt den Graphen von

g

dar. Geben Sie an, welcher dies ist, und begründen Sie Ihre Antwort, indem Sie erklären, warum die anderen nicht in Betracht kommen.

Lösung zu Teilaufgabe 2b

Monotonieverhalten einer Funktion

Nach Teilaufgabe 2a) hat die Funktion

g

folgende Eigenschaften:

g^{'} (x) = g (x) \cdot [1 - g (x)]

g^{''} (x) = g (x) \cdot [1 - g (x)] \cdot [1 - 2 g (x)]

Graph I stellt nicht den Graphen von

g

dar, denn aus

0 < g (x) < 1

folgt

g^{'} (x) = g (x) \cdot \underset{> 0}{\underset{︸}{[1 - g (x)]}} > 0

\Rightarrow

Widerspruch zur Monotonie des Graphen (monoton fallend)

Graph III stellt nicht den Graphen von

g

dar, denn aus

g (x) > 1

folgt

g^{'} (x) = g (x) \cdot \underset{< 0}{\underset{︸}{[1 - g (x)]}} < 0

\Rightarrow

Widerspruch zur Monotonie des Graphen (monoton steigend)

Graph IV stellt nicht den Graphen von

g

dar, denn aus

\frac{1}{2} < g (x) < 1

folgt

g^{''} (x) = g (x) \cdot [1 - g (x)] \underset{< 0}{\underset{︸}{[1 - 2 g (x)]}} < 0

\Rightarrow

Widerspruch zum Krümmungsverhalten des Graphen (hat ein Wendepunkt)

Folglich stellt Graph II den Graphen von

g

dar.

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Lösungen zu:

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Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

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Themen dieser Aufgabe:

Monotonieverhalten einer Funktion

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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