Abitur 2010 Mathematik LK Infinitesimalrechnung I

Gegeben ist die Schar der Funktionen

f_{k} : \mapsto x - \ln \frac{x}{k}

mit

k \in ℝ^{+}

und Definitionsmenge

D = ℝ^{+}

. Der Graph von

f_{k}

wird mit

G_{k}

bezeichnet.

Teilaufgabe 1a (3 BE)

Untersuchen Sie das Verhalten von

f_{k}

für

x \to 0

und für

x \to \infty

Teilaufgabe 1b (8 BE)

Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunktes von

G_{k}

sowie das Krümmungsverhalten von

G_{k}

. Berechnen Sie

f_{1} (6)

und skizzieren Sie

G_{1}

in ein geeignetes Koordinatensystem.
[zur Kontrolle: Tiefpunkt bei

x = 1

]

Teilaufgabe 1c (6 BE)

Zeigen Sie, dass

G_{k}

aus

G_{1}

durch eine Verschiebung in Richtung der

y

-Achse hervorgeht.
Bestimmen Sie die Anzahl der Nullstellen von

f_{k}

in Abhängigkeit von

k

. (Hinweis: Versuchen Sie nicht, die Nullstellen zu berechnen.)

Teilaufgabe 1d (4 BE)

Begründen Sie, dass

f_{k}

im Intervall

] 0; 1]

umkehrbar ist, und geben Sie Definitions- und Wertemenge der zugehörigen Umkehrfunktion

f_{k}^{- 1}

an. Geben Sie die Stelle an, an der

f_{k}^{- 1}

nicht differenzierbar ist.

Teilaufgabe 1e (7 BE)

Betrachtet wird folgende Aussage:

\int_{0}^{1} f_{k} (x) d x = 1, 5 + \ln k

α)

Weisen Sie nach, dass die Aussage wahr ist.

β)

Interpretieren Sie die Aussage für

k = 1

geometrisch.

γ)

Geben Sie ein Integral über

f_{1}^{- 1}

an, dessen Wert Sie mit Hilfe der Aussage ermitteln können, und bestimmen Sie diesen Wert.

Teilaufgabe 1f (3 BE)

In dieser Teilaufgabe werden diejenigen Funktionen

f_{k}

betrachtet, deren Graphen

G_{k}

die

x

-Achse jeweils in genau zwei Punkten schneiden. Durch

G_{k}

, die beiden Koordinatenachsen sowie die Gerade

x = 1

werden dann jeweils im Bereich

x \leq 1

zwei Flächenstücke endlichen Inhalts festgelegt, von denen das eine oberhalb, das andere unterhalb der

x

-Achse liegt. Bestimmen Sie

k

so, dass diese beiden Flächenstücke inhaltsgleich sind.

Gegeben ist eine in

ℝ

definierte, zweimal differenzierbare Funktion

g

mit der Eigenschaft

g^{'} (x) = g (x) \cdot [1 - g (x)]

für alle

x \in ℝ

Teilaufgabe 2a (3 BE)

Zeigen Sie, dass für alle

x \in ℝ

gilt:

g^{''} (x) = g (x) \cdot [1 - g (x)] \cdot [1 - 2 \cdot g (x)]

Teilaufgabe 2b (6 BE)

Einer der vier im Folgenden abgebildeten Graphen stellt den Graphen von

g

dar. Geben Sie an, welcher dies ist, und begründen Sie Ihre Antwort, indem Sie erklären, warum die anderen nicht in Betracht kommen.

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 1c

Teilaufgabe 1d

Teilaufgabe 1e

Teilaufgabe 1f

Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

Lösung als Video:

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Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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