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Abitur 2010 Mathematik LK Infinitesimalrechnung I
Gegeben ist die Schar der Funktionen mit und Definitionsmenge . Der Graph von wird mit bezeichnet.
Teilaufgabe 1a (3 BE)
Untersuchen Sie das Verhalten von für und für .
Teilaufgabe 1b (8 BE)
Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunktes von sowie das Krümmungsverhalten von . Berechnen Sie und skizzieren Sie in ein geeignetes Koordinatensystem.
[zur Kontrolle: Tiefpunkt bei ]
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Teilaufgabe 1c (6 BE)
Zeigen Sie, dass aus durch eine Verschiebung in Richtung der -Achse hervorgeht.
Bestimmen Sie die Anzahl der Nullstellen von in Abhängigkeit von . (Hinweis: Versuchen Sie nicht, die Nullstellen zu berechnen.)
Bestimmen Sie die Anzahl der Nullstellen von in Abhängigkeit von . (Hinweis: Versuchen Sie nicht, die Nullstellen zu berechnen.)
Teilaufgabe 1d (4 BE)
Begründen Sie, dass im Intervall umkehrbar ist, und geben Sie Definitions- und Wertemenge der zugehörigen Umkehrfunktion an. Geben Sie die Stelle an, an der nicht differenzierbar ist.
Teilaufgabe 1e (7 BE)
Betrachtet wird folgende Aussage:
Weisen Sie nach, dass die Aussage wahr ist.
Interpretieren Sie die Aussage für geometrisch.
Geben Sie ein Integral über an, dessen Wert Sie mit Hilfe der Aussage ermitteln können, und bestimmen Sie diesen Wert.
Weisen Sie nach, dass die Aussage wahr ist.
Interpretieren Sie die Aussage für geometrisch.
Geben Sie ein Integral über an, dessen Wert Sie mit Hilfe der Aussage ermitteln können, und bestimmen Sie diesen Wert.
Teilaufgabe 1f (3 BE)
In dieser Teilaufgabe werden diejenigen Funktionen betrachtet, deren Graphen die -Achse jeweils in genau zwei Punkten schneiden. Durch , die beiden Koordinatenachsen sowie die Gerade werden dann jeweils im Bereich zwei Flächenstücke endlichen Inhalts festgelegt, von denen das eine oberhalb, das andere unterhalb der -Achse liegt. Bestimmen Sie so, dass diese beiden Flächenstücke inhaltsgleich sind.
Gegeben ist eine in definierte, zweimal differenzierbare Funktion mit der Eigenschaft
für alle .
für alle .
Teilaufgabe 2a (3 BE)
Zeigen Sie, dass für alle gilt:
Teilaufgabe 2b (6 BE)
Einer der vier im Folgenden abgebildeten Graphen stellt den Graphen von dar. Geben Sie an, welcher dies ist, und begründen Sie Ihre Antwort, indem Sie erklären, warum die anderen nicht in Betracht kommen.


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Tipp:
Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
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