Lösung Abitur Bayern 2010 Mathematik LK Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1b (8 BE)

Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunktes von

G_{k}

sowie das Krümmungsverhalten von

G_{k}

. Berechnen Sie

f_{1} (6)

und skizzieren Sie

G_{1}

in ein geeignetes Koordinatensystem.
[zur Kontrolle: Tiefpunkt bei

x = 1

]

Lösung zu Teilaufgabe 1b

Art von Extrempunkten ermitteln

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

f_{k} (x) = x - \ln \frac{x}{k}

k \in ℝ^{+}

D = ℝ^{+}

Erste Ableitung bilden:

f_{k}^{'} (x) = {(x - \ln \frac{x}{k})}^{'}

Schritt einblenden / ausblenden

Kettenregel der Differenzialrechnung

Kettenregel der Differentialrechnung für Logarithmusfunktionen:

f (x) = \ln g (x)

\Rightarrow

f^{'} (x) = \frac{g^{'} (x)}{g (x)}

Hier ist

\begin{matrix} f (x) = \ln \frac{x}{k} & mit & g (x) = \frac{x}{k} \end{matrix}

Dann ist

f^{'} (x) = \frac{1 / k}{x / k} = \frac{1}{x}

= 1 - \frac{1}{x}

= \frac{x - 1}{x}

Erste Ableitung gleich Null setzen:

Schritt einblenden / ausblenden

Notwendige Bedingung

Folgende notwendige Bedingung muss für ein Extrempunkt an der Stelle

x^{E}

erfüllt sein:

f^{'} (x^{E}) = 0

daher immer der Ansatz:

f^{'} (x) = 0

f_{k}^{'} (x) = 0

\Leftrightarrow

\frac{x - 1}{x} = 0

Schritt einblenden / ausblenden

x - 1 = 0

\Rightarrow

x^{E} = 1

\Rightarrow

An der Stelle

x^{E} = 1

hat der Graph

G_{k}

eine waagerechte Tangente

Zweite Ableitung bilden:

f_{k}^{''} (x) = (\frac{x - 1}{x})

Schritt einblenden / ausblenden

Quotientenregel der Differenzialrechnung

Quotientenregel:

f (x) = \frac{u (x)}{v (x)}

\Rightarrow

f^{'} (x) = \frac{u^{'} (x) \cdot v (x) - u (x) \cdot v^{'} (x)}{{[v (x)]}^{2}}

Hier ist

\begin{matrix} u (x) = x - 1 & u n d & v (x) = x \end{matrix}

.

Dann ist

\begin{matrix} u^{'} (x) = 1 & u n d & v^{'} (x) = 1 \end{matrix}

= \frac{1 \cdot x - (x - 1) \cdot 1}{x^{2}}

= \frac{1}{x^{2}}

Art des Extrempunktes bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Art eines Extremums

Ist

f^{'} (x^{E}) = 0

und

f^{''} (x^{E}) > 0

, so hat die Funktion an der Stelle

x^{E}

einen Tiefpunkt (Minimum)

Ist

f^{'} (x^{E}) = 0

und

f^{''} (x^{E}) < 0

, so hat die Funktion an der Stelle

x^{E}

einen Hochpunkt (Maximum)

f_{k}^{''} (x^{E}) = f_{k}^{''} (1) = \frac{1}{1^{2}} = 1 > 0

\Rightarrow

G_{k}

hat an der Stelle

x^{E} = 1

ein Minimum

Lage von Extrempunkten ermitteln

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

y^{E} = f_{k} (x^{E}) = f_{k} (1) = 1 - \ln \frac{1}{k}

Schritt einblenden / ausblenden

Rechnen mit Logarithmen

Logarithmus eines Quotienten:

\ln (\frac{a}{b}) = \ln a - \ln b

= 1 - \ln 1 + \ln k = 1 + \ln k

\Rightarrow

E (1 | 1 + \ln k)

Minimum

Krümmungsverhalten einer Funktion

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Vorzeichen der zweiten Ableitung bestimmen:

f_{k}^{''} (x) = \frac{1}{x^{2}} > 0

für alle

x \in D

Schritt einblenden / ausblenden

Krümmungsverhalten einer Funktion

Das Vorzeichen der zweiten Ableitung gibt Aufschluss über das Krümmungsverhalten des Graphen.

Es gilt:

Ist die zweite Ableitung einer Funktion

F

negativ auf einem Intervall

] a, b [

, d.h.

F^{''} (x) < 0

für

x \in] a; b [

, so ist der Graph der Funktion

G_{f}

in diesem Intervall rechtsgekrümmt (konkav)

Ist die zweite Ableitung einer Funktion

F

positiv auf einem Intervall

] a, b [

, d.h.

F^{''} (x) > 0

für

x \in] a; b [

, so ist der Graph der Funktion

G_{f}

in diesem Intervall linksgekrümmt (konvex)

Ist die zweite Ableitung einer Funktion

F

gleich Null an einer Stelle

x^{W}

, d.h.

F^{''} (x^{W}) = 0

, und findet ein Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung an dieser Stelle statt, so liegt ein Wendepunkt an der Stelle

x^{W}

vor.

\Rightarrow G_{k}

ist linksgekrümmt (konvex) in

D

Skizze

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f_{1} (x) = x - \ln x

f_{1} (6) = 6 - \ln 6 \approx 4, 2

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Teilaufgabe 1e

Teilaufgabe 1f

Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

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Themen dieser Aufgabe:

Art von Extrempunkten ermitteln

Lage von Extrempunkten ermitteln

Krümmungsverhalten einer Funktion

Skizze

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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