Lösung Abitur Bayern 2010 Mathematik GK Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 5a (5 BE)

Die Ergebnisse der Aufgaben 1 bis 3 können im Folgenden verwendet werden.

Eine Kugel

A

der Masse 1 kg bewegt sich nach rechts und stößt mit der Geschwindigkeit

1 \frac{m}{s}

elastisch und zentral auf eine gleich große ruhende Kugel

B

Die Maßzahl der Geschwindigkeit der Kugel

A

\frac{m}{s}

unmittelbar nach dem Zusammenstoß wird durch die Funktion

v : m \mapsto \frac{1 - m}{1 + m}

mit

m \in ℝ^{+}

beschrieben, wobei

m

für die Maßzahl der Masse der Kugel

B

in kg steht. Zu einer Bewegung nach rechts gehören positive Geschwindigkeiten, zu einer Bewegung nach links negative Geschwindigkeiten.

Berechnen Sie, mit welcher Geschwindigkeit sich Kugel

A

unmittelbar nach dem Stoß bewegt, wenn die Masse der Kugel

B

0,6 kg beträgt.
Geben Sie die Grenzwerte der Funktion

v

für

m \to 0

sowie

m \to + \infty

an und machen Sie für diese beiden Grenzfälle jeweils den Bewegungsablauf der Kugel

A

im Sachzusammenhang plausibel.

Lösung zu Teilaufgabe 5a

Anwendungsaufgabe

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Wichtiger Hinweis

Das Verständnis des physikalischen Zusammenhangs ist für die Lösung dieser Aufgabe nicht notwendig!

m_{A} = 1

kg
(Masse der Kugel A)

v_{A} = 1 \frac{m}{s}

(Geschwindigkeit der Kugel A vor dem Zusammenstoß)

m_{B} = 0, 6

kg
(Masse der Kugel B)

v (m_{B}) = \frac{1 - m_{B}}{1 + m_{B}}

Geschwindigkeit der Kugel nach dem Zusammenstoß:

0, 6

in die Funktion

v (m) = \frac{1 - m}{1 + m}

für

m

einsetzen:

v (0, 6) = \frac{1 - 0, 6}{1 + 0, 6} = 0, 25 \frac{m}{s}

\Rightarrow

Die Kugel A bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von 0,25 m/s nach dem Zusammenstoß.

Grenzwerte bestimmen:

lim_{m_{B} \to 0} v (m_{B}) = lim_{m_{B} \to 0} \frac{1 - m_{B}}{1 + m_{B}} = 1

(s. Teilaufgabe 1a)

Bedeutung: Hat Kugel B eine sehr kleine Masse, bewegt sich Kugel A mit nahezu unveränderter Geschwindigkeit weiter.

lim_{m_{B} \to + \infty} v (m_{B}) = lim_{m_{B} \to + \infty} \frac{1 - m_{B}}{1 + m_{B}} = - 1

(s. Teilaufgabe 1a)

Bedeutung: Hat Kugel B eine sehr große Masse, prallt Kugel A von Kugel B so ab, dass sie sich mit betragsmäßig nahezu unveränderter Geschwindigkeit nach links bewegt.

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Lösungen zu:

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Teilaufgabe 5a

Teilaufgabe 5b

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Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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