Lösung Abitur Bayern 2010 Mathematik GK Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 4b (5 BE)

Weisen Sie durch Rechnung nach, dass

G_{f}

im I. Quadranten den Viertelkreis um den Koordinatenursprung mit Radius 1 in zwei etwa inhaltsgleiche Teilflächen zerlegt.

Lösung zu Teilaufgabe 4b

Flächenberechnung

f (x) = \frac{1 - x}{1 + x}

D_{f} = ℝ ∖ {- 1}

F (x) = - x + 2 \ln (x + 1)

x \in] - 1; + \infty [

Stammfunktion von

f

(s. Teilaufgabe 4a)

Fläche

A_{f}

die

G_{f}

mit der

x

-Achse einschließt zwischen 0 und 1:

Schritt einblenden / ausblenden

Bestimmtes Integral

Die Fläche die

G_{f}

mit der

x

-Achse zwischen 0 und 1 einschließt, ist gegeben durch das bestimmte Integral:

A_{f} = \int_{0}^{1} f (x) d x

A_{f} = \int_{0}^{1} f (x) d x

Schritt einblenden / ausblenden

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Ist

F

eine Stammfunktion von

f

, dann ist

F^{'} = f

und es gilt:

\int_{a}^{b} f (x) d x = [F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)

= {[F (x)]}_{0}^{1}

= {[- x + 2 \ln (x + 1)]}_{0}^{1}

= - 1 + 2 \ln 2 + \underset{= 0}{\underset{︸}{0 - 2 \ln 1}}

= 2 \ln 2 - 1

\approx 0, 386

FE (Flächeneinheiten)

Viertelkreisfläche:

A_{K r e i s} = π \cdot r^{2} = π \cdot 1^{2} = π

A_{V i e r t e l k r e i s} = \frac{A_{K r e i s}}{4} = \frac{π}{4}

Flächen vergleichen:

\frac{A_{f}}{A_{V i e r t e l k r e i s}} = \frac{0, 386}{\frac{π}{4}} \approx \frac{1}{2}

\Rightarrow G_{f}

teilt die Viertelkreisfläche in etwa zwei inhaltsgleiche Teilflächen.

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Teilaufgabe 5b

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Themen dieser Aufgabe:

Flächenberechnung

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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