Abitur 2010 Mathematik GK Infinitesimalrechnung II

Gegeben ist die Funktion

f : x \mapsto \frac{1 - x}{1 + x}

mit dem Definitionsbereich

D_{f} = ℝ ∖ {- 1}

. Der Graph von

f

wird mit

G_{f}

bezeichnet.

Teilaufgabe 1a (5 BE)

Untersuchen Sie das Verhalten von

f

an den Rändern des Definitionsbereichs und geben Sie die Gleichungen der Asymptoten von

G_{f}

an.

Teilaufgabe 1b (4 BE)

Die Terme der gebrochen-rationalen Funktionen

g

und

h

haben den gleichen Zähler wie

f (x)

, aber jeweils einen anderen Nenner. Geben Sie je einen möglichen Funktionsterm für

g

und

h

an, so dass im jeweils maximalen Definitionsbereich gilt:

Der Graph von $g$ hat keine senkrechte Asymptote.
Die Funktion $h$ hat an der Stelle $x - 1$ eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.

Teilaufgabe 2a (5 BE)

Geben Sie die Koordinaten der Achsenschnittpunkte von

G_{f}

an und untersuchen Sie das Monotonieverhalten von

G_{f}

Teilaufgabe 2b (4 BE)

Berechnen Sie

f (3), f (- 2)

und

f (- 5)

. Zeichnen Sie

G_{f}

sowie die Asymptoten unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse in ein Koordinatensystem ein.

Teilaufgabe 3 (4 BE)

Die Funktion

f

ist umkehrbar (Nachweis nicht erforderlich). Bestimmen Sie den Term der Umkehrfunktion von

f

. Was lässt sich aus dem Ergebnis hinsichtlich der Symmetrie von

G_{f}

folgern?

Teilaufgabe 4a (3 BE)

Bestätigen Sie, dass die Funktion

F : x \mapsto - x + 2 \ln (x + 1)

für

x \in] - 1; + \infty [

eine Stammfunktion von

f

ist.

Teilaufgabe 4b (5 BE)

Weisen Sie durch Rechnung nach, dass

G_{f}

im I. Quadranten den Viertelkreis um den Koordinatenursprung mit Radius 1 in zwei etwa inhaltsgleiche Teilflächen zerlegt.

Die Ergebnisse der Aufgaben 1 bis 3 können im Folgenden verwendet werden.

Eine Kugel

A

der Masse 1 kg bewegt sich nach rechts und stößt mit der Geschwindigkeit

1 \frac{m}{s}

elastisch und zentral auf eine gleich große ruhende Kugel

B

Die Maßzahl der Geschwindigkeit der Kugel

A

\frac{m}{s}

unmittelbar nach dem Zusammenstoß wird durch die Funktion

v : m \mapsto \frac{1 - m}{1 + m}

mit

m \in ℝ^{+}

beschrieben, wobei

m

für die Maßzahl der Masse der Kugel

B

in kg steht. Zu einer Bewegung nach rechts gehören positive Geschwindigkeiten, zu einer Bewegung nach links negative Geschwindigkeiten.

Teilaufgabe 5a (5 BE)

Berechnen Sie, mit welcher Geschwindigkeit sich Kugel

A

unmittelbar nach dem Stoß bewegt, wenn die Masse der Kugel

B

0,6 kg beträgt.
Geben Sie die Grenzwerte der Funktion

v

für

m \to 0

sowie

m \to + \infty

an und machen Sie für diese beiden Grenzfälle jeweils den Bewegungsablauf der Kugel

A

im Sachzusammenhang plausibel.

Teilaufgabe 5b (5 BE)

Ermitteln Sie, für welche Werte von

m

sich Kugel

A

unmittelbar nach dem Stoß nach rechts bewegt.
Berechnen Sie, für welchen Wert von

m

sich die Kugel

A

unmittelbar nach dem Stoß mit

0, 9 \frac{m}{s}

nach links bewegt.

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 3

Teilaufgabe 4a

Teilaufgabe 4b

Teilaufgabe 5a

Teilaufgabe 5b

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Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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