Lösung Abitur Bayern 2009 Mathematik GK Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 3b (5 BE)

F : x \mapsto (- x - 1) \cdot e^{2 - x}

mit

x \in ℝ

ist eine Stammfunktion von

f

(Nachweis nicht erforderlich).
Ermitteln Sie den Inhalt der Fläche, die

G_{f}

mit der Geraden

g_{a}

für

a = 1

einschließt.

Lösung zu Teilaufgabe 3b

Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen

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F (x) = (- x - 1) \cdot e^{2 - x}, x \in ℝ

g_{1} (x) = x

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Nach Teilaufgabe 3a) schneidet die Geradenschar

g_{a}

die Funktion

f

an 2 Stellen:

x = 0

und

x_{S} = 2 - \ln a

Die Gerade

g_{1}

schneidet also die Funktion

f

bei

x = 0

und

x_{S} = 2

a = 1 \Rightarrow x_{S} = 2 - \ln 1 = 2

(siehe Teilaufgabe 3a)

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Die Gerade

g_{1}

schneidet die Funktion

f

bei

x = 0

und

x_{S} = 2

0 und 2 sind somit die Integrationsgrenzen.

Die Fläche die

G_{f}

mit der Geraden

g_{1}

einschließt ist gleich der Fläche die

G_{f}

mit der

x

-Achse einschließt (zwischen 0 und 2) minus die Fläche die

g_{1}

mit der

x

-Achse einschließt (zwischen 0 und 2).

Man berechnet also das Integral von

f (x) - x

zwischen 0 und 2.

A = \int_{0}^{2} (f (x) - x) d x

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Für das Integral einer Summe gilt:

\int (f (x) + g (x)) d x = \int f (x) d x + \int g (x) d x

= \int_{0}^{2} f (x) d x - \int_{0}^{2} x d x

Schritt einblenden / ausblenden

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Ist F eine Stammfunktion von f, so gilt:

\int_{a}^{b} f (x) d x = [F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)

In diesem Fall ist

F (x) = (- x - 1) \cdot e^{2 - x}

Stammfunktion von

f

.

Die Stammfunktion einer Polynomfunktion

g (x) = x^{n}, n \in ℤ ∖ {- 1}

ist gleich:

\int x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1}

Somit ist die Stammfunktion von

x

gleich

\frac{1}{2} x^{2}

= [F (x)]_{0}^{2} - {[\frac{1}{2} x^{2}]}_{0}^{2}

= {[(- x - 1) \cdot e^{2 - x}]}_{0}^{2} - {[\frac{1}{2} x^{2}]}_{0}^{2}

= [(- 2 - 1) \cdot e^{2 - 2} - (- 0 - 1) \cdot e^{2 - 0}] - {[\frac{1}{2} 2^{2} - \frac{1}{2} 0^{2}]}_{0}^{2}

= - 3 \cdot e^{0} + e^{2} - 2 + 0

= e^{2} - 5

\approx 2, 39

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Themen dieser Aufgabe:

Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen

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