Lösung Abitur Bayern 2009 Mathematik GK Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2b (6 BE)

Betrachtet wird die Integralfunktion

I : x \mapsto \int_{0}^{x} f (t) d t

für

x \in ℝ

.
Bestimmen Sie ohne Verwendung einer integralfreien Darstellung der Funktion

I

Art und Lage des Extrempunkts des Graphen von

I

. Skizzieren Sie unter Einbeziehung der bisherigen Ergebnisse, insbesondere auch der Näherungswerte aus Teilaufgabe 2a, den Graphen von

I

in das Koordinatensystem aus Teilaufgabe 1d.

Lösung zu Teilaufgabe 2b

Art und Lage des Extrempunkts einer Integralfunktion

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

I (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t

mit

x \in ℝ

Erste Ableitung bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Stammfunktion

Ist

F

eine Stammfunktion von

f

, so gilt:

F^{'} = f

Hier ist die Funktion

I

Stammfunktion von

f

, also gilt:

I^{'} = f

I^{'} (x) = f (x)

Erste Ableitung Null setzen:

I^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow f (x) = 0

\Rightarrow x^{M} = 0

(siehe Teilaufgabe 1a)

Schritt einblenden / ausblenden

Bedingungen für ein Extremum

Folgende Bedingungen müssen für ein Extremum erfüllt sein:

I^{'} (x^{M}) = 0

und

I^{''} (x^{M}) \neq 0

oder

I^{'} (x^{M}) = 0

und Vorzeichenwechsel in

I^{'}

bei

x = x^{M}

Vorzeichen der ersten Ableitung bestimmen:

I^{'} (x) > 0 \Leftrightarrow f (x) > 0

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Aus Teilaufgabe 1 ist bekannt, dass die Funktion

f

positive Werte annimmt für

x > 0

\Rightarrow x > 0

Die Funktion

I (x)

ist für

x > 0

streng monoton steigend.

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Aus Teilaufgabe 1 ist bekannt, dass die Funktion

f

negative Werte annimmt für

x < 0

\Rightarrow x < 0

Die Funktion

I (x)

ist für

x < 0

streng monoton fallend.

Schritt einblenden / ausblenden

Vorzeichenwechsel

Bei

x^{M} = 0

ist der Vorzeichenwechsel von "-" nach "+".
Die Funktion

I

hat an der Stelle

x^{M} = 0

ein Minimum.

Bemerkung:

Ein Vorzeichenwechsel von "-" nach "+" ist auch daran zu erkennen, dass die Fläche die der Graph

G_{f}

mit der

x

-Achse einschließt erst negativ und dann positiv ist.

\Rightarrow

Die Funktion

I (x)

hat an der Stelle

x^{M} = 0

ein Minimum.

y

-koordinate des Extrempunktes bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Einsetzen

Die

x

-Koordinate des Extrempunktes wird in die Funktionsgleichung

I (x)

eingesetzt.

y^{M} = I (x^{M}) = I (0) = \int_{0}^{0} f (t) d t = 0

\Rightarrow M (0 | 0)

Minimum

Skizze

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Aus Teilaufgabe 2a:

I (1) = \int_{0}^{1} f (x) d x \approx 1, 36

I (5) = \int_{0}^{5} f (x) = \int_{0}^{1} f (x) + \int_{1}^{5} f (x) \approx 1, 36 + 6 = 7, 36

Bemerkung:

Die durchgezogene blaue Linie stellt den tatsächlichen Graphen der Integralfunktion dar. Die gestrichelte Linie stellt ein Teil des Graphen der Integralfunktion dar, der in der Aufgabe gezeichnet wird wenn man die Ergebnisse aus Teilaufgabe 2a berücksichtig

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Lösungen zu:

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Teilaufgabe 3a

Teilaufgabe 3b

Teilaufgabe 3c

Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Art und Lage des Extrempunkts einer Integralfunktion

Skizze

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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