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Abitur 2009 Mathematik GK Infinitesimalrechnung II
Gegeben ist die Funktion mit dem Definitionsbereich . Ihr Graph wird mit bezeichnet.
Teilaufgabe 1a (3 BE)
Geben Sie die Nullstelle von an und untersuchen Sie das Verhalten von für und .
Teilaufgabe 1b (6 BE)
Bestimmen Sie Art und Lage des Extrempunkts von und ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an im Punkt .
[Zur Kontrolle: ]
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Teilaufgabe 1c (4 BE)
Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten von . Geben Sie die Koordinaten des Wendepunkts von an.
Teilaufgabe 1d (5 BE)
Berechnen Sie und . Zeichnen Sie die Tangente und den
Graphen unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein
Koordinatensystem ein.
(Platzbedarf im Hinblick auf das Folgende: )
Graphen unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein
Koordinatensystem ein.
(Platzbedarf im Hinblick auf das Folgende: )
Teilaufgabe 2a (4 BE)
Ermitteln Sie durch Betrachtung einer jeweils geeigneten Dreiecks- oder Trapezfläche grobe Näherungswerte für und .
Teilaufgabe 2b (6 BE)
Betrachtet wird die Integralfunktion für .
Bestimmen Sie ohne Verwendung einer integralfreien Darstellung der Funktion Art und Lage des Extrempunkts des Graphen von . Skizzieren Sie unter Einbeziehung der bisherigen Ergebnisse, insbesondere auch der Näherungswerte aus Teilaufgabe 2a, den Graphen von in das Koordinatensystem aus Teilaufgabe 1d.
Bestimmen Sie ohne Verwendung einer integralfreien Darstellung der Funktion Art und Lage des Extrempunkts des Graphen von . Skizzieren Sie unter Einbeziehung der bisherigen Ergebnisse, insbesondere auch der Näherungswerte aus Teilaufgabe 2a, den Graphen von in das Koordinatensystem aus Teilaufgabe 1d.
Gegeben ist nun zusätzlich die Schar der Geraden mit den Gleichungen , und Definitionsbereich .
Teilaufgabe 3a (4 BE)
Jede Gerade hat mit den Ursprung gemeinsam (kein Nachweis erforderlich). Untersuchen Sie rechnerisch, für welche Werte des Parameters es einen zweiten Punkt gibt, den die Gerade mit gemeinsam hat. Geben Sie die -Koordinate dieses Punktes in Abhängigkeit von an.
[Zur Kontrolle: ]
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Teilaufgabe 3b (5 BE)
mit ist eine Stammfunktion von (Nachweis nicht erforderlich).
Ermitteln Sie den Inhalt der Fläche, die mit der Geraden für einschließt.
Ermitteln Sie den Inhalt der Fläche, die mit der Geraden für einschließt.
Teilaufgabe 3c (3 BE)
und die -Achse schließen im I. Quadranten ein sich ins Unendliche erstreckendes Flächenstück ein, das den endlichen Flächeninhalt besitzt (Nachweis nicht erforderlich).
Für ein bestimmtes teilt die Gerade dieses Flächenstück in zwei inhaltsgleiche Teilstücke. Geben Sie einen Ansatz zur Bestimmung von an.
Für ein bestimmtes teilt die Gerade dieses Flächenstück in zwei inhaltsgleiche Teilstücke. Geben Sie einen Ansatz zur Bestimmung von an.
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Tipp:
Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
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