Abitur 2009 Mathematik GK Infinitesimalrechnung II

Gegeben ist die Funktion

f : x \mapsto x \cdot e^{2 - x}

mit dem Definitionsbereich

D_{f} = ℝ

. Ihr Graph wird mit

G_{f}

bezeichnet.

Teilaufgabe 1a (3 BE)

Geben Sie die Nullstelle von

f

an und untersuchen Sie das Verhalten von

f

für

x \to - \infty

und

x \to + \infty

Teilaufgabe 1b (6 BE)

Bestimmen Sie Art und Lage des Extrempunkts von

G_{f}

und ermitteln Sie die Gleichung der Tangente

t

G_{f}

im Punkt

P (0 | f (0))

.
[Zur Kontrolle:

f^{'} (x) = (1 - x) \cdot e^{2 - x}

]

Teilaufgabe 1c (4 BE)

Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten von

G_{f}

. Geben Sie die Koordinaten des Wendepunkts von

G_{f}

an.

Teilaufgabe 1d (5 BE)

Berechnen Sie

f (- 0, 5)

und

f (5)

. Zeichnen Sie die Tangente

t

und den
Graphen

G_{f}

unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein
Koordinatensystem ein.
(Platzbedarf im Hinblick auf das Folgende:

- 7 \leq y \leq 9

)

Teilaufgabe 2a (4 BE)

Ermitteln Sie durch Betrachtung einer jeweils geeigneten Dreiecks- oder Trapezfläche grobe Näherungswerte für

\int_{0}^{1} f (x) d x

und

\int_{1}^{5} f (x) d x

Teilaufgabe 2b (6 BE)

Betrachtet wird die Integralfunktion

I : x \mapsto \int_{0}^{x} f (t) d t

für

x \in ℝ

.
Bestimmen Sie ohne Verwendung einer integralfreien Darstellung der Funktion

I

Art und Lage des Extrempunkts des Graphen von

I

. Skizzieren Sie unter Einbeziehung der bisherigen Ergebnisse, insbesondere auch der Näherungswerte aus Teilaufgabe 2a, den Graphen von

I

in das Koordinatensystem aus Teilaufgabe 1d.

Gegeben ist nun zusätzlich die Schar der Geraden

g_{a}

mit den Gleichungen

y = a x, a \in ℝ

, und Definitionsbereich

D_{a} = ℝ

Teilaufgabe 3a (4 BE)

Jede Gerade

g_{a}

hat mit

G_{f}

den Ursprung gemeinsam (kein Nachweis erforderlich). Untersuchen Sie rechnerisch, für welche Werte des Parameters

a

es einen zweiten Punkt gibt, den die Gerade

g_{a}

mit

G_{f}

gemeinsam hat. Geben Sie die

x

-Koordinate

x_{S}

dieses Punktes in Abhängigkeit von

a

an.
[Zur Kontrolle:

x_{S} = 2 - \ln a

]

Teilaufgabe 3b (5 BE)

F : x \mapsto (- x - 1) \cdot e^{2 - x}

mit

x \in ℝ

ist eine Stammfunktion von

f

(Nachweis nicht erforderlich).
Ermitteln Sie den Inhalt der Fläche, die

G_{f}

mit der Geraden

g_{a}

für

a = 1

einschließt.

Teilaufgabe 3c (3 BE)

G_{f}

und die

x

-Achse schließen im I. Quadranten ein sich ins Unendliche erstreckendes Flächenstück ein, das den endlichen Flächeninhalt

e^{2}

besitzt (Nachweis nicht erforderlich).
Für ein bestimmtes

a_{0}

teilt die Gerade

g_{a_{0}}

dieses Flächenstück in zwei inhaltsgleiche Teilstücke. Geben Sie einen Ansatz zur Bestimmung von

a_{0}

an.

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 1c

Teilaufgabe 1d

Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 3a

Teilaufgabe 3b

Teilaufgabe 3c

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